EgzMAD2002popr�

Egzamin Poprawkowy MAD Irok grupa A PJWSTK 11-02-2002

Imię i Nazwisko............................................................ • Numer indeksu.....................................

1.    Niech A będzie zbiorem wszystkich funkcji całkowitych z X w Y; X jest zbiorem mocy n, a Y zbiorem mocy k.

•    Jaka jest moc zbioru A?    Odp.:..........................

•    Ile jest funkcji różnowartościowych w zbiorze A, jeśli n=7ak=5? Odp.:.......................

2.    Niech A,B,C będą podzbiorami zbioru liczb naturalnych, A= zbiór liczb pierwszych, B=zbiór liczb parzystych, C=zbiór liczb nieparzystych. Oblicz wartości wymienionych wrażeń:

• (AuC)^c\B=    (AnC)\B =

3.    Niech P(x)='x jest liczbą parzystą'. Zapisać następujące zdania przy użyciu jedynie operatorów logicznych, •podanego predykatu, dodawania i równości:

•    Suma dowolnych dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą. Odp....................................................................

•    Istnieją liczby, których suma jest parzysta chociaż one same nie są parzyste Odp.:...........................................

4.    W pudełku znajdują się 3 kulki białe i 8 czarnych. Losowo wyciągamy dwie kulki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy

•    dwie kulki białe?    Odp.:...............................................

•    jedną kulkę białą a drugą czarną? Odp.:.............................................................

5.    Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Niech X będzie zmienną losową określającą liczbę wyrzuconych szóstek.

•    Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej. Odp.:..........................................................................

•    Jakie jest prawdopodobieństwo, że X=3? Odp.:........................

6.    W zbiorze liczb całkowitych określono relację równoważności: a« b wttw 3|(a - b).

•    Ile klas abstrakcji ma ta relacja? Odp.:.....................

•    Podaj po 2 przykłady elementów należących do każdej z klas. Odp.:....................................................................

7.    Niech r będzie relacją binarną określoną w zbiorze wszystkich ciągów liczb naturalnych następująco: dla dowolnych ciągów a=(ą) _ieN, b=(bj) _i6N, arb wmv (VieN) aj <b₍. Czy jest to

•    relacja porządku? TAK/NIE Uzasadnienie:...........................................................................................

•    relacja liniowego porządku? TAK/ NIE Uzasadnienie:..................................................................................

8.    Ustal prawdziwość następujących stwierdzeń:

•    W każdym zbiorze uporządkowanym istnieje co najwyżej jeden element największy.    Prawda / Fałsz

•    Każdy element maksymalny w zbiorze uporządkowanym jest elementem największym. Prawda / Fałsz

9. Podaj przykład formuł a i P tak. aby formułay nie była prawdziwa w strukturze liczb rzeczywistych

•    y = (V x) (a(x) v P(x)) -» ((Vx) ct(x) v (Vx) p(x)) Odp.: a(x)= ...............................P(x)=..............................

•    y = (ct(x) —>P(x))    Odp.: a(x)= .............................................. P(x)=............................................................

10. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej (2i-l)= n".