EgzMAD2002popr¡

Egzamin Poprawkowy MAD Irok grupa A PJWSTK 11-02-2002

Imię i Nazwisko............................................................ • Numer indeksu.....................................

1.    Niech A bÄ™dzie zbiorem wszystkich funkcji caÅ‚kowitych z X w Y; X jest zbiorem mocy n, a Y zbiorem mocy k.

•    Jaka jest moc zbioru A?    Odp.:..........................

•    Ile jest funkcji różnowartoÅ›ciowych w zbiorze A, jeÅ›li n=7ak=5? Odp.:.......................

2.    Niech A,B,C bÄ™dÄ… podzbiorami zbioru liczb naturalnych, A= zbiór liczb pierwszych, B=zbiór liczb parzystych, C=zbiór liczb nieparzystych. Oblicz wartoÅ›ci wymienionych wrażeÅ„:

• (AuC)^c\B=    (AnC)\B =

3.    Niech P(x)='x jest liczbÄ… parzystÄ…'. Zapisać nastÄ™pujÄ…ce zdania przy użyciu jedynie operatorów logicznych, â€¢podanego predykatu, dodawania i równoÅ›ci:

•    Suma dowolnych dwóch liczb parzystych jest liczbÄ… parzystÄ…. Odp....................................................................

•    IstniejÄ… liczby, których suma jest parzysta chociaż one same nie sÄ… parzyste Odp.:...........................................

4.    W pudeÅ‚ku znajdujÄ… siÄ™ 3 kulki biaÅ‚e i 8 czarnych. Losowo wyciÄ…gamy dwie kulki. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo, Å¼e wyciÄ…gniemy

•    dwie kulki biaÅ‚e?    Odp.:...............................................

•    jednÄ… kulkÄ™ biaÅ‚Ä… a drugÄ… czarnÄ…? Odp.:.............................................................

5.    Rzucamy dwiema szeÅ›ciennymi kostkami do gry. Niech X bÄ™dzie zmiennÄ… losowÄ… okreÅ›lajÄ…cÄ… liczbÄ™ wyrzuconych szóstek.

•    Znaleźć rozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa tej zmiennej. Odp.:..........................................................................

•    Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo, że X=3? Odp.:........................

6.    W zbiorze liczb caÅ‚kowitych okreÅ›lono relacjÄ™ równoważnoÅ›ci: a« b wttw 3|(a - b).

•    Ile klas abstrakcji ma ta relacja? Odp.:.....................

•    Podaj po 2 przykÅ‚ady elementów należących do każdej z klas. Odp.:....................................................................

7.    Niech r bÄ™dzie relacjÄ… binarnÄ… okreÅ›lonÄ… w zbiorze wszystkich ciÄ…gów liczb naturalnych nastÄ™pujÄ…co: dla dowolnych ciÄ…gów a=(Ä…) _ieN, b=(bj) _i6N, arb wmv (VieN) aj <b₍. Czy jest to

•    relacja porzÄ…dku? TAK/NIE Uzasadnienie:...........................................................................................

•    relacja liniowego porzÄ…dku? TAK/ NIE Uzasadnienie:..................................................................................

8.    Ustal prawdziwość nastÄ™pujÄ…cych stwierdzeÅ„:

•    W każdym zbiorze uporzÄ…dkowanym istnieje co najwyżej jeden element najwiÄ™kszy.    Prawda / FaÅ‚sz

•    Każdy element maksymalny w zbiorze uporzÄ…dkowanym jest elementem najwiÄ™kszym. Prawda / FaÅ‚sz

9. Podaj przykład formuł a i P tak. aby formułay nie była prawdziwa w strukturze liczb rzeczywistych

•    y = (V x) (a(x) v P(x)) -» ((Vx) ct(x) v (Vx) p(x)) Odp.: a(x)= ...............................P(x)=..............................

•    y = (ct(x) —>P(x))    Odp.: a(x)= .............................................. P(x)=............................................................

10. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej (2i-l)= n".