8a (8)

MM>

Egzamin MAD I rok grupa B PJWSTK    4 luty 2002

Imię i Nazwisko.............................................................Numer indeksu.....................................

t. Niech X- będzie zbiorem mocy k.

•• Jaka jest moc produktu Xx XxX? Odp.:.........................:

•    Jaka jest moc zbioru wszystkich relacji binarnych zwrotnych określonych w X?    Odp.:.....................

2. Niech A,B,C będą. podzbiorami zbioru liczb naturalnych, A={3k : k eN}, B-zbiór liczb nieparzystych, C={6k : k eN}. Oblicz wartości wymienionych wyrażeń:

• (B\C)^C nA =    (C\A)\B=    .•    (AnB^c)\C =

3.    Dane są predykaty S(x)=’x jest studentem’, Z(x)='x zda egzamin’, P(x)-x jest dobrze przygotowany’. Zapisać następujące zdania przy użyciu jedynie operatorów logicznych i podanych predykatów:

•    Każdy student jest dobrze przygotowany i zda egzamin. Odp.....................................................................

•    Każdy kto zda egzamin jest studentem. Odp.:....................................................................................._.........

•    Niektórzy studenci zdadzą egzamin chociaż nie są dobrze przygotowani. Odp.:......................................

4.    W pewnej grze, do każdego pytania są podane 4 możliwe odpowiedzi, z których tylko jedna jest prawdziwa. Gracz nie zna odpowiedzi na żadne pytanie i za każdym razem losowo wybiera odpowiedź. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

•    gracz odpowie poprawnie na 7 kolejnych pytań? Odp.:...............................................

•    gracz nie odpowie na żadne z 10 kolejnych pytań? Odp.:.............................................................

5.    Rzucono 3 razy sześcienną kostką do gry. Niech X będzie zmienną losową określającą liczbę kostek, na których liczba wyrzuconych oczek jest podzielna przez 3.

•    Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej. Odp.:..........................................................................

•    Jakie jest prawdopodobieństwo, że X=3, jeśli wiadomo, że na dwóch pierwszych kostkach wyrzucono 3?

Odp.:........................

6.    W zbiorze liczb naturalnych <32 określono relację równoważności: a » b wttw liczba jedynek w binarnej reprezentacji liczb a i b jest taka sama.

•    Ile klas abstrakcji ma ta relacja? Odp.:.....................

•    Podaj 2 przykłady elementów należących do tej samej ldasy co 6. Odp.:......................................................

•    Dla każdej klasy abstrakcji ustal jaka jest jej moc. Odp.:....................................................................................

7. Niech r będzie relacją binarną określoną w zbiorze liczb N, a r b wttw 3|a wttw 3|b . Czy jest to

•    relacja dobrego porządku? TAK/NIE Uzasadnienie:..................................................................................

•    relacja porządku? TAK / NIE    Uzasadnienie:.............................................................................

•    relacja równoważności? TAK/NIE    Uzasadnienie........................................................................

Odpowiedź NIE uzasadniamy podając własność, których relacja nie posiada: odpowiedź TAK uzasadniamy podając własności, które ta relacja posiada.

8.    Dana jest pewna relacja równoważności r w k-e!ementowym zbiorze A. Określ

•    sumę teorio-mnogościową wszystkich klas abstrakcji tej relacji Odp.:.............................

•    ile klas abstrakcji ma ta relacja, jeśli jedna z klas jest k elementowa. Odp.:..................................

•    czy dwie różne klasy mogą mieć niepuste przecięcie.    Odp.:.........................................

9.    Uzupełnij następujące zdania słowami, a następnie każde z nich zapisz przy użyciu symboli algebry zbiorów:

•    "uzupełnienie przecięcia zbiorów A i B jest równe sumie.................................................................................",.

•    "różnica uzupełnień zbioru A i zbioru B jest równa przecięciu.........................................................................."

10. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej    l/(i (i+1))- n/’(n+l).