EgzMAD2002popr±

Egzamin Poprawkowy MAD Irok grupa B PJWSTK 11-02-2002

ImiÄ™ i Nazwisko............................................................ Numer indeksu......................................

1.    Niech A=Xx Y, gdzie X jest zbiorem mocy n a Y zbiorem mocy k.

•    Jaka jest moc zbioru A?    Odp.:.....................................

•    Ile podzbiorów ma zbiór A, jeÅ›li n=5 i k= 2? Odp.:...................................................

2.    Niech A,B,C bÄ™dÄ… podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, A=zbiór liczb caÅ‚kowitych, B=ź>iór liczb dodatnich, C=zbiór liczb ujemnych. Oblicz wartoÅ›ci wymienionych wyrażeÅ„:

(C\A) n(B\A) =    (AuC)'\B =

3.    Dany jest predykat W(x)='x jest liczbÄ… wymierną’. Zapisać nastÄ™pujÄ…c zdania przy użyciu jedynie, operatorów logicznych , podanego predykatu, równoÅ›ci i operacji mnożenia:

•    Iloczyn dowolnych dwóch liczb wymiernych jest liczbÄ… wymiernÄ…. Odp..........................................................

•    IstniejÄ… liczby, których iloczyn jest liczbÄ… wymiernÄ…, chociaż żadna z nich nie jest liczbÄ… wymiernÄ…. Odp.:

4.    W pudeÅ‚ku znajdujÄ… siÄ™ 2 kulki biaÅ‚e i 5 czarnych. Losowo wyciÄ…gamy dwie kulki. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo, Å¼e

•    wyciÄ…gniemy dwie kulki biaÅ‚e? Odp.:...............................................

•    jednÄ… kulkÄ™ biaÅ‚Ä… a drugÄ… czarnÄ…? Odp.:...........................................................

5.    Rzucono trzema identycznymi monetami. Niech X bÄ™dzie zmiennÄ… okreÅ›lajÄ…cÄ… liczbÄ™ wyrzuconych orłów.

•    Znaleźć rozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa tej zmiennej. Odp.:..........................................................................

•    Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo, że X=4, jeÅ›li na pierwszej monecie wypadÅ‚ orzeÅ‚? Odp.:........................

6.    W zbiorze liczb caÅ‚kowitych okreÅ›lono relacjÄ™ równoważnoÅ›ci: x* y wttw 2|(x+y).

•    Ile klas abstrakcji ma ta relacja? Odp.:.....................

•    Podaj po 2 przykÅ‚ady elementów należących do każdej z klas. Odp.:....................................................................

7.    Niech r bÄ™dzie relacjÄ… binarnÄ… okreÅ›lonÄ… w zbiorze liczb zespolonych nastÄ™pujÄ…co: x r y wttw Re(x)<Re(y) a Im(x)< Im(y). Czy jest to

•    relacja porzÄ…dku? TAK/ NIE Uzasadnienie:...........................................................................................

•    relacja liniowego porzÄ…dku? TAK.'NIE Uzasadnienie:.............................................................................

8.    Ustal prawdziwość nastÄ™pujÄ…cych stwierdzeÅ„:

•    W każdym zbiorze uporzÄ…dkowanym istnieje co najwyżej jeden element maksymalny.    Prawda / FaÅ‚sz

•    Każdy element najwiÄ™kszy w zbiorze uporzÄ…dkowanym jest elementem maksymalnym    Prawda / FaÅ‚sz

9.    Podać przykÅ‚ad formuÅ‚ a i (3 tak. aby formuÅ‚ay nie byÅ‚a prawdziwa w strukturze liczb rzeczywistych

•    y = (P(x) ->a(x)) Odp.: ct(x)= ..............................................P(x) =...................................................................

•    7 = ((3 x) a(.x) a (3 y) P(y)) -» (3x) (a(x) a p(x)) Odp.: ct(x)= ...............................P(x)=............................

10.    Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n,    (4i-3) = n (2n-l).