CCF20091202025

odgadnąć. Oczywiste jest zatem, że skrajne przedziały klasowe rozkładu liczebności powinny być zamknięte, jeśli mamy'zamiar obliczać średnią. W następnym rozdziale zobaczymy, że podobnie przedstawia się sprawa przy obliczaniu odchylenia standardowego, które jest najpopularniejszym miernikiem rozrzutu.

X =

N

967 050 189

5117 dolarów

Obliczanie średniej metodą skróconą. Metoda powyższa wiąże się na ogól z mnożeniem dość dużych liczb (np. 2450X17), chyba że środki przedziałów klasowych są małymi i „równymi” liczbami. Nowoczesny kalkulator bez trudu mnoży takie liczby i dodaje iloczyny. Ale przy ręcznym obliczaniu średniej znacznie wygodniejsza jest skrócona metoda obliczania. Na pierwszy rzut oka wydaje się ona znacznie bardziej skomplikowana, niż sposób opisany powyżej, ale przy pewnej wprawie jest ona znacznie prostsza. Metoda skrócona opiera się na odgadnięciu średniej, co pozwala na posługiwanie się przy mnożeniu małymi liczbami. Następnie dodaje się do średniej odgadniętej odpowiednią poprawkę i otrzymuje prawidłowy wynik.

Dla uproszczenia obliczeń przyjmiemy, że średnią jest środek jednego z przedziałów klasowych. Z tabeli 5.1 widzimy, że średnia musi być nieco mniejsza od środka czwartego przedziału klasowego, czyli od 5450. Korzyść z posługiwania się środkiem przedziału klasowego jako średnią odgadniętą jest oczywista: odległość wszystkich pomiarów od średniej odgadniętej jest wówczas równa wielokrotności długości przedziału klasowego. Odejmując średnią odgadniętą od każdego pomiaru otrzymamy więc równe liczby: 1000, 2000, 3000, —1000, itd. Następnie mnożymy te różnice przez odpowiednie liczebności, iloczyny dodajemy, otrzymaną sumę dzielimy przez całkowitą liczbę przypadków i otrzymujemy w ten sposób poprawkę, którą należy dodać do średniej odgadniętej. Przykładowo: 17 przypadków różni się od średniej odgadniętej dokładnie o 3000, 26 przypadków różni się od niej o 2000, itd. W tabeli 5.2 zamieszczamy kolumnę „d ”, w której zapisujemy odległości środka danego przedziału od średniej odgadniętej. Wzór (5.2) po zmodyfikowaniu przyjmie postać:

ifdi

X= X'+    (5.4)

gdzie

d_i=X-X'

Nasze wyliczenie można przedstawić w tabeli.

Tabela 5.2. Obliczanie średniej z danych pogrupowanych — metoda skrócona

Dokładne granice przedziałów	Punkty środkowe przedziałów	fi	dt	fidi
1950-2950	2450	14	-3000	-51 000
2950-3950	3450	26	-2000	-52 000
3950-4950	4450	38	-1000	-38 000
4950-5950	5450	51	0	0
5950-6950	6450	36	1000	36 000
6950-7950	7450	21	2000	42 000
Razem		189		-63 000

Em

= 5450+ -~voo°° = 5450-333 = 5117 doi.

Suma odchyleń od średniej odgadniętej wynosi tutaj — 63000; dzieląc ją przez liczbę przypadków otrzymujemy wartość poprawki, a po dodaniu jej do średniej odgadniętej uzyskujemy średnią arytmetyczną. W tym przypadku poprawka jest liczbą ujemną, co oznacza, że średnia odgadnięta była wyższa niż rzeczywista. Pamiętajmy, że przyjmując jakąkolwiek inną liczbę za średnią odgadniętą, otrzymalibyśmy w końcu ten sam rezultat. Na przykład zakładając, że średnia wynosi 4450 (środek trzeciego przedziału) otrzymamy poprawkę +667, którą dodamy do 4450 otrzymując prawidłową wartość średniej. Takie obliczenie może zresztą służyć za sprawdzenie prawidłowości poprzednich obliczeń. Zauważmy, że przyjąwszy jako średnią odgadniętą inną liczbę niż środek czwartego przedziału, mielibyśmy więcej pracy, gdyż iloczyny f_id_l byłyby większe. Gdybyśmy zaś przyjęli liczbę, która nie jest środkiem żadnego przedziału, nie oszczędzilibyśmy ani trochę pracy w stosunku do zwyczajnej metody obliczania. Po nabraniu

5* 67