CCF20091202032

równy jest różnicy 86—57 = 29. Rozstęp podajemy zwykle w postaci różnicy (29) lub dwóch ekstremalnych pomiarów (57 i 86). Jeśli dane są pogrupowane, rozstęp równy jest różnicy między środkami krańcowych przedziałów. Jeśli więc środek dolnego przedziału mieści się w punkcie 2450, a górnego — w punkcie 7450, to rozstęp wynosi 5000.

Wyjątkowa prostota tego miernika dyspersji jest zarówno wadą, jak i zaletą. Jest on wygodny, gdy trzeba szybko otrzymać orientacyjną charakterystykę dyspersji lub gdy obliczenia przeprowadzają osoby słabo obeznane ze statystyką. Rozstęp może się wtedy okazać jedynym zrozumiałym miernikiem dyspersji. Ale wykształcenie statystyczne socjologów szybko rośnie i już niedługo będzie można liczyć na powszechną znajomość mierników lepiej charakteryzujących próbę. Słabe strony tego miernika są oczywiste: opiera się tylko na dwóch pomiarach, i do tego ekstremalnych. Jednakże przypadki ekstremalne rzadko pojawiają się w badaniach empirycznych i tylko los może sprawić, że otrzymamy 1 lub 2 takie przypadki w próbie. Przypuśćmy, że w badanej społeczności jest 1 milioner. Jeśli do próby losujemy 10 osób z tej społeczności, to prawdopodobnie nie wejdzie on do próby. Załóżmy jednak, że się w niej znalazł. Wówczas rozstęp jako miernik dyspersji dochodu będzie wielkością bardzo mylącą. Stosując ten miernik, nie mamy żadnych danych o zróżnicowaniu pozostałych pomiarów, wiemy o nich tyle tylko, że leżą pomiędzy tymi dwoma. Poza tym, jak wykazaliśmy na przykładzie, rozstęp jest miarą bardzo zmienną przy zmianach próby. Co więcej, będzie on zwykle większy, gdy próba będzie większa, gdyż wówczas rosną szanse wylosowania z populacji przypadków ekstremalnych. Dlatego też, poza wstępnym zwiadem badawczym miary tej zwykle nie wykorzystuje się w socjologii.

6.2. ODCHYLENIE ĆWIARTKOWE    '

Innym miernikiem dyspersji, pojawiającym się czasem w badaniach psychologicznych i pedagogicznych, lecz rzadko spotykanym w opracowaniach socjologicznych, jest odchylenie ćwiartkowe Q. Jest ono rodzajem rozstępu, lecz określamy go nie jako różnicę między ekstremalnymi pomiarami, lecz jako połowę różnicy między trzecim i pierwszym kwartylem:

_q=Qz-Qx    (6.1)

: gdzie Q₁ i Q₃ oznaczają odpowiednio pierwszy i trzeci kwartyl. Zauważmy, że odchylenie ćwiartkowe mierzy rozstęp pokryty przez połowę wszystkich przypadków. Ponieważ Q₁ i Q_s są mniej zależne od wahań próby niż wartości pomiarów ekstremalnych, odchylenie ćwiartkowe jest miernikiem znacznie bardziej stabilnym niż rozstęp. Nie wykorzystuje jednak wszystkich informacji. Nie możemy więc przy jego pomocy uchwycić zmienności w środkowej połowie przypadków, czy też uwzględnić zmian na krańcach rozkładu. Zajmiemy się dlatego dwoma miernikami, które nie mają tej wady.

6.3. ODCHYLENIE ŚREDNIE

W celu wykorzystania wszystkich pomiarów, potrzebne będzie obliczenie odległości każdego pomiaru od miernika tendencji centralnej i znalezienie jakiegoś rodzaju średniej tych odchyleń. Miernikiem tendencji centralnej może być w tym przypadku także mediana i moda, ale na ogół posługujemy się średnią, jako najbardziej zadowalającym miernikiem w większości przypadków. Przypuśćmy, że obliczamy zwykłą sumę odchyleń pomiarów od średniej. Niestety, wiemy już, że otrzymamy zero, gdyż różnice dodatnie i ujemne zniosą się. Oznacza to, że trzeba się w jakiś sposób pozbyć znaków ujemnych. Istnieją dwa proste sposoby: (1) zaniedbać znaki, tj. uwzględnić tylko wartości bezwzględne różnic; (2) podnosić różnice do kwadratu. Pierwszy z nich prowadzi do obliczenia odchylenia średniego, drugi — do obliczenia odchylenia standardowego, którym zajmiemy się szczegółowo w dalszej części tego rozdziału.

Odchylenie średnie określamy jako średnią arytmetyczną wartości bezwzględnych różnic między pomiarami i średnią. Symbolicznie:

N

Odchylenie średnie =

Z \Xt-X\

/=» 1

(6.2>

Średnią liczb 72, 81, 86, 69, i 57 jest 73,0. Odejmując 73,0 od każdej z tych liczb, zaniedbując znak i dodając wartości bezwzględne różnic otrzymujemy po podzieleniu tej sumy przez 5:

N

Z IXi X\ _1+8+13+4_|_₁₆

5

N