DSCN8042

PRZYKŁADOWE ZADANIA TEORETYCZNE II

1. Podać definicje: ciągu funkcyjnego, zbieżności ciągu funkcyjnego oraz jego granicy. Znaleźć granice ciągów funkcyjnych:

i /«(*) I ntg g , 11 (o, j) | f_n(x) B S + *" , 1 1 (0, OO)

2. Podać definicję obszaru zbieżności szeregu funkcyjnego. Znaleźć obszary zbieżności szeregów

OO

1 £e~"*

n=l

3. Sformułować twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego. Sprawdzić, żc

• oo    _ . . eHB

£ nsⁿ = 77^7 dla |*| < 1.

n=l    V^1-*'

oo

Obliczyć §| i|f

71= 1

4. Sformułować twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego. Sprawdzić, że

oo _    ■ v.bd>

£ §8 = — ln (1 — *) dla |s| < 1. Obliczyć £ §H

n=l    n=l

oo

w _n

5. Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej x szereg £ jest zbieżny do

__A

n=0

funkcji f(x) = e*.

6.    Sformułować kryterium Dirichleta o zbieżności szeregu trygonometrycznego. Narysować wykres sumy szeregu Fouriera dla funkcji

1 /(*) = sign(x), x 1 (—fi |r)

| f(x)=x- 1, x I (—2,2).

7.    Podać własności całki po przedziale domkniętym w przestrzeni Hⁿ.

8.    Sformułować i udowodnić twierdzenie o obliczaniu całki z funkcji ciągłej po obszarach normalnych na płaszczyźnie.

9.    Całkę podwójną zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi:

a) y = |*|, x = 1, x = —1, y = 0 b) x² — 4x + y² + 6y — 51 = 0

1