egzam

I egzamin z rachunku prawdopodobieństwa - teoria czas 60 min, punktacja: każde zadanie po 10 pkt

1.    Podać definicje zbieżności ciągu zmiennych losowych według prawdopodobieństwa i z prawią dopodobieństwem jeden i omówić relacje między nimi (udowodnić implikacje, podać kontrprzykłady).

2.    Rozkłady prawdopodobieństwa Pi i P2 są zadane przez ich gęstości pi i P2 względem miary .. Lebesgue’a na 3J: pi[x) = Ae“^A*l[o,₀o)(^a:) oraz P2(x) — Ae^-M*^-<0l[_C)OO)(x), gdzie c > 0. Zbadać,

czy Pi « P2 oraz czy P2 « Pi. W przypadku absolutnej ciągłości, podać dwie różne wersje i, odpowiedniej pochodnej Radona-Nikodyma.

3.    Sformułować i udowodnić drugi lemat Borela-Cantelliego.

4.    Podać definicję niezależności zmiennych losowych i warunki konieczne i dostateczne niezależności wyrażone w terminach dystrybuant i gęstości. Udowodnić ten ostatni.

^: _