geodezja0

Zależnie od potrzebnej dokładności oraz rodzaju posiadanych danych, powierz-hnię można wyznaczyć metodą analityczną, graficzną lub mechaniczną. Można ównież zastosować metodę kombinowaną graficzno-analityczną.

Metoda anałityt zna polega na obliczaniu powierzchni na podstawie danych, / zyskanych bezpośre dnio w terenie lub obliczonych na podstawie wielkości pomie-zonych w terenie. Metoda ta jest najdokładniejsza, lecz najbardziej pracochłonna.

Metoda graficzna polega na obliczaniu powierzchni, wykorzystując te same rzory jak w metodzie analitycznej, przy czym potrzebne fniary wyznacza się grafi-znie z mapy. Dokładność obliczenia powierzchni metodą graficzną jest mniejsza ^: iż metodą analityczną.    i

| Metoda mechaniczna polega na określaniu powierzchni za pomocą mapy i od- 4 .„J jowiedntch przyrząc ów zwanych planimetrami. Dokładność obliczenia powierz-^P /( ihni metodą mechaniczną jest tego samego rzędu jak metodą graficzną.

!' Metoda kombinowana, analityczno-graficzna polega na tym, że część miar trzymuje się z pomiaru w terenie, a część graficznie z mapy. Dokładność tej meto-y jest pośrednia miedzy metodą analityczną i graficzną.

I

■.17.1. Metoda analityczna obliczania powierzchni

Powierzchnię figur geometrycznych, takich jak trójkąty i czworoboki, oblicza ię za pomocą wzoróvv znanych z geometrii.

Powierzchnię dowolnego wiełoboku można obliczyć mając dane współrzędne rostokątne wierzchołków na podstawie wzorów:

(5.75)

RYSUNEK 5.St. Wyznaczanie powierzchni ze współrzędnych prostokątnych

■y\-4

*4>

(5.76)

RYSUNEK $.53. Przykład niepo-krywaniasię granicy z linią osnowy

RYSUNEK 5.54. Punkty graniczne mierzone na domiary

RYSUNEK 5.57. Elementy do graficznego wyznaczania powierzchni

Obliczanie powierzchni

-2/>=X

Na przykład powierzchnia wielo-oku 1, 2, 3. 4 (rys. 5-51) będzie rów-ała się sumie powierzchni trapezów c 2 3 i c 3 4 a zmdiejszonej o sumę owierzchni trapezóy b d 2 1 i b i 4 a.

dożemy to zapisać r astępująco:

^:    2P = (y₂+y_}) (x_: - x₃) + (v₃ + y₄) (x_} ■

-(kt⁺y4>(^t

2P = x₇y-_l -xyy₂ fx₂y₃ - Jfjyj + xyy₃ - x₄\’_i + x₃y_Ą - x&₄ - *2)2 +

+ X;}>2 - *2Zl \ ^X2.^vl ~ *l>'t ⁺ *4>’l - ^x\y* ⁺ X^₄ ^>o zredukowaniu i uszeregowaniu według rosnących wartości* otrzymujemy 2P = *j3’₂ - *i.V4 f x&i - x_zVi +*3,v₄ - xiy₂ + x₄y_[ ~ x₄y₃ =

- x 1 0'2 -.^4)⁺ *2 Oj-j'i> ⁺ *3 0^;4 -y*2>⁺ x₄ (y 1 -yj) eżeli uszeregujemy wyrazy według rosnących wartościy, to otrzymamy:

2P — yi (x₄ - x₂) |+ y₂ {x\~x₃) + y₃ (x₂ - X_Ą) + y₄ (x₃ - *|)

Jogółniając otrzymane wyrażenia dla wiełoboku o n wierzchołkach oznaczonych >d ł w prawo - zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymamy podane wcześniej vzory (5.75) na obliczanie powierzchni.

Podwójna powierzchnia wiełoboku równa się zatem sumie iloczynów kolejnych wartości * i różnic utworzonych z wartości y następnych punktów i wartości y pun-ctów poprzednich liib sumie iloczynów kolejnych wartości y i różnic utworzonych i wartości * poprzećjnich punktów oraz wartości * punktów następnych. We wzorze ńerwszyra każda z Wartości y występuje dwa razy, przy czym każda z nich jeden raz i est dodatnia, drugi raz ujemna. Wobec tego suma wszystkich różnic równa się zero.

WW/ZW//A			M +' i II o
w/m/a vi i		V///M,	We wzorze drugim
|;^<n w/Ą		W/////A4\
		li^x»*i WWa
wMiw/A		WMaW/A	£{*,., - .*>,) = 0

RYSUNEK 5.52. Szablon do obliczania Zależności te służą do kontroli rachunku. Ob-2o wierzch ni ze współrzędnych prosto- liczenia te można wykonywać na zwykłych ''^ttn-^vc!’    kalkulatorach wyposażonych w pamięć do su

mowania poszczególnych iloczynów. Dla uta-:wienia pracy dobrz; jest wykonać szablon papierowy z wyciętymi okienkami dla współrzędnych biorących udział w kolejnych iloczynach (rys. 5.52).

Wzory do oblickania powierzchni ze współrzędnych stosuje się dla tej części obiektu, która znajduje się w obrębie punktów osnowy poligonowej, mających obliczone współrzędne.

Często zdarza się, że granica mierzonej działki nie pokrywa się z linią poligonu |rys. 5.53). wówczas należy obliczyć powierzchnię zawartą między linią pomiarową 1 łamaną granicą działki (rys. 5.54). Powierzchnia obszaru leżącego po lewej stronie

linii 1-2 ograniczonego punktami l<z ócz/jest dodatnia, a powierzchnia obszaru d efl jest ujemna.

Powierzchnię zawartą między granicą działki a linią pomiarową obliczyć można dwoma sposobami.

Sposób pierwszy - podział aa figury elementarne

Domiary do punktów granicznych dzielą tę powierzchnię na trójkąty prostokątne i trapezy prostokątne o znanych podstawowych wymiarach, których powierzchnię można łatwo obliczyć. W przykładzie przedstawionym na rysunku 5.54 obszar 1 a b c d składa się z trójkąta prostokątnego l a a o znanej podstawie 1 a i wysokości a' a, z trapezu prostokątnego a‘ a b b' o znanych podstawach a a i b' b oraz wysokości a a, z trapezu prostokątnego b' bcc o znanych wymiarach i trójkąta prostokątnego c c d, którego powierzchnię można wyliczyć po obliczeniu odcinka c d. Ponieważ w następnym ujemnym obszarze w podobnej sytuacji jest trójkąt d e e, naj-

właściwiej jest obliczyć różnicę powierzchni tych trójkątów, czyli

Pc'cde e ” "2 (^ ^ *” ^ e) C &

Różnica powierzchni tych trójkątów jest połową iloczynu różnic wysokości przez sumę podstaw. Sposób drugi-obliczanie powierzchni na podstawie współrzędnych

Domiary prostokątne do punktów granicznych możemy przyjąć za współrzędne prostokątne w układzie, w którym linię 1-2 przyjmujemy za oś odciętych, a punkt 1 za początek układu. Rzędne z lewej strony linii 1-2 będą miały znak minus, a z prawej - znak plus. Powierzchnię obliczamy stosując ogólny wzór (5.75) na obliczanie powierzchni ze współrzędnych, czyli

2/> = £*;(», -y_M)

W celu dokonania obliczeń dane należy wpisać do tabel z wykazem współrzędnych. Powierzchnia wiełoboku na podstawie współrzędnych biegunowych

Jeżeli punkty wiełoboku określone są współrzędnymi biegunowymi r_t oraz |5_; (rys. 5.55), to powierzchnię tego wiełoboku można określić wzorem:

n

2P~^, r_i+i x sin (P;₊₁ - p,)    (5.77)

t

gdzie i - numery kolejnych punktów.

Powierzchnię przykładowego czworokąta l, 2,3,4 można przedstawić jako sumę powierzchni trzech trójkątów, pomniejszoną o powierzchnię jednego trójkąta, czyli

, = Pt

t + Px

			Podwójną powierzchnię tych trójkątów
			obliczamy jako iloczyn sąsiednich boków
32,		\\ \\ \M\	i sinus kąta między tymi bokami. Nieza-
	!/ jfey		leżnie od usytuowania bieguna w stosunku do wiełoboku, ogólny wzór na oblicza-
1	,/\Y	i	nie powierzchni pozostaje bez zmian.
c. 3	<y a/\ //VVf \	1 / |	Znak ujemny powierzchni trójkąta 33, 1,
			4 wynika samoistnie z ujemnego znaku
^0	7/^**$* r . irv- ^r4-_Y/_	(	kąta, co daje ujemny znak sinusa. W tym wypadku
33	4

RYSUNEK 5.55. Wyznaczanie powierzchni

ze współrzędnych biegunowych    Kąt (ói jest większy od kąta (5j, a więc wy

nik różnicy jest ujemny. Dokładność metody analitycznej zależy tylko od dokładności pomiaru w terenie. Na podstawie doświadczeń ustalono, że przy dokładności pomiaru długości rzędu 1:2000 i dokładności pomiaru kąta ±1' błąd względny powierzchni wyniesie około 1:1000 powierzchni P.

Metoda graficzna obliczania powierzchni

Aby obliczyć powierzchnię wiełoboku metodą graficzną, należy podzielić go na trójkąty lub na trójkąty i trapezy. Elementy potrzebne do obliczania powierzchni ■ wyznaczamy graficznie z mapy.

Dia przykładu obliczono powierzchnię wiełoboku przedstawionego na rysunku 5.57.

Powierzchnia sześcioboku I, 2, 3, 4, 5, 6 jest sumą powierzchni czterech trójkątów, a więc

P-Pi + Pl + Py + P*

Podział wiełoboku na trójkąty powinien być tak wykonany, aby powstały trójkąty foremne. Najkorzystniejszym, 2e względu na dokładność obliczeń, będzie taki trójkąt, w którym wysokość i podstawa są równe.

W celu kontroli obliczenia należy wykonać dwukrotnie. Przy drugim obliczeniu należy wielobok podzielić na inne figury.