IMG'95

/ Armii.

ĆL'Czy ajest wystarczającą miarą porównawczą rozproszenia r. p. wokół wartości średniej? ^y ' Niech X ma rozkład równomierny p(r)^m const dla < fj- >/5cr.. £ +    > i 0 poza lym

przedziałem. V - rozkład normalny NfA.o) p(r)”(>/2np )'* exp|-(v - ĆT)^ł / 2a¹1, zaś Z -rozkład/jt/dact:'a p(»)'(-y2a)''cxp(->/2|v- £j / o) dlą rzeczywistych .v. Porównaj prawdopodobieństwa, że odchylenie od wartości średniej przekracza o

Wykorzystaj wzór na l'(n5X<P). Przydatne dane: -/t »    cxp(-^2) " 0.2-13, «l'fl) " lUdl. gdzie

ili(r) - funkcja Laplacc*a, Ij. całka z N(O.I) w przedziale <t«.jr>. por. tablice na końcu tych materiałów.

i X czas bezawaryjnej pracy elementu, posinda dane ciaraklcrystyki. Wiedząc, że element pracuic bezawaryjnie już x sekund, wyznacz prawdopodobieństwo, ze awaria nastąpi w ciągu następnych i> sekund Wyraź je jako funkcję r dla b. marego y ("prawdopodobieństwo awarii za cltwiię" określające tzw. iidcifsywiasc awarii). Rozpatrz przypadek, gdy X ma rozkład Wałndła p(.v)=»Ai-^Mexp(-m^/), gdzie a, ń>0

Interesuje nas l'(X<r+i- skorzystaj z prawdopodobieństwa warunkowego ł ponownie ze wzoru na l’(aśX<P). Dla b. malcpo K przyrost wartości riyslrybtianly zastąp różniczką, otrzymasz wynik w postaci p(.v)iń'. gdzie pfjjlo właśnie współczynnik intensywności awarii. Narysuj wykres p(ij dla rn/kladu Wcihułla. ziiilcrprciuj przypadki n<l. n»l i n>l.

Ck X: czas (rwania rozmowy telefonicznej, ma rozkład Wykładniczy p(.v)=r/exp(-m), o>0, .v20. Jednostka licznikowa ma długość Tsekund. Określ Fr i'pR. gdy R: długość niewykorzystanej części ostatniej rozpoczętej jednostki licznikowej.

Interesuje nas zd. R<r Niech A„“rozmown zakończy się w trakcie n-tej jednostki licznikowej. Czy {A,} to układ zupełny zdarzeń7 Jak wyrazić R<r przy pomoc) lego układu i jak obliczyć l*(R<mA„)7

óvic25eiiiłi VI: Zmienne losowe - nplikaejc

I A'słudcnlów pisze egzamin X, czas. po którym student / oddaje pracę X, są iid (iiidf/icndcni rf idciilically dislribulcd - niezależne i o jednakowym rozkładzie) i mają charakterystyki F i p Określ dyslrybunnty dla

a) X„« czas najszybszego sludenla, oblicz dla F(.v)=l-e\p(-o.v) (rozkład wykładniczy) (X»2rMXiŁr).. |X_A2x).

I») X_mn czas najpowolniejszego sludenla,

fX_m»<rWXi<r)...(X_Are.r).

c) X¹'¹ czas sludenla oddającego pracę jako X-ly kolejny (Izw. k-ta słalysłyka pozycyjna układu ztn.l).

To jest uogólnienie punktów ą) i b) (gdzie ś~ I i k*X). Spójrz na opisany egzamin jak na 5clicm.il Bcriioullicgo, w- którym snkęcS^m(X,<r). Ilu polrzcba sukcesów, by zaszło zd. (X^,ł,<T)7

(j) Ą "Xn«x-X_mi„ (izw rossiyi układu zm I). ohlicz dla p(.\*)»const . 0<.v</>

(A<I')“A|...A_W. RU/4C AA <i»lOnn js/yhs/.y jest My Mmlcm Fnmcw-.i/ X.«-1 /ml ciayl»tm «i«c • / dokładnością do zd. prawic nicnio/Jiuycli - A,k\ WKijcinmc ro/lac/jic Vl A.l oblicz / prawdopodobieństwa cnlkowiicgo: łłl,-(rSX,<U+rfł)ł slnnowin nklail zupełny /d (jakie fa id. prawdopodobieństwa?), zaś (A,|ll,)«(>rSXi<r+v) (rSX,.₁*'*⁴ <')|rSX,.| -r*i ) <rSXv r‘rl

2 Element mechaniczny składa się z 2 szeregowo poleczonych ogniw produkowanych seryjnie niezależnie od siebie. X,Y: odchyłki długości ogniw od wartości nominalnych, nwią rozkłady normalne N(0,O|) i N(0,oi). Kontrola jakości przepuszcza element, gdy łączna odchyłka co do wartości bezwzględnej nie przekracza A Znajdź gęstość r.p X dla elementów przepuszczonych przez kontrolę jnkości.

Interesuje nas l'(rSX<x+z/»||X+Y|'^:A) Skorzystaj znów ze wzoru l’( AID)*l’fTi|Atl'(At/ftOt ipm Ćwicz III. zad. I). Dalej. (|X-t V|<A|»SX<!r+//.r)“... 7. kolei, jaki rozkład mnX*Y, tj suma dwóch mc/ntcMwch zin.l. o rozkładach nontinlttyclt7 Na koniec przypomnij sobie. >c dla dowolnej zjw.t L n rozkładzie N(C.o) mamy P(oSZ<p) - <1»((l)-/r)/a)-<1>((ti-£j/a), gdzie •!•(■) • funkcja Laplacc'a

3. Wraz ze znajomymi biorę udział w grze "życic", w którym wygrana jest miarą sukcesu ("wygranej życiowej") gracza. Zakładamy, że wygrane poszczególnych graczy są iid o charakterystykach F i p. Określ

a) prawdopodobieństwo, że wygrana przypadkowo spotkanego znajomego okazuje się mc mniejsza od mojej,

Nicclt X.Y: wygrana moja i znajomego. Interesuje nas zd. YżX. Niech leraz H,^-(vSX*^;i'‘>M Co powiesz o układzie zd, {I I,} i ich prawdopodobieństwach? Oczywiście (YZX|H,)»(YŁv) Wzór na prawdopodobieństwo całkowite przybiera posiać całki... dokonaj inicligcninic podstawienia, a stwierdzisz, że jest b. prosta. Wynik nic powinien Cię zaskoczyć., dlaczego?

(b) r p. i wnrlość średnią liczby kolejno spolkanyc.lt znajomych, klóryclt wygrana okn/uic się nu* mniejsza od mojej; średnia la moz.c być miarą mojego "życiowego |>cclia" (/.godnie z potocznym rozsądkiem, ze względu na symetrię wszystkich graczy, powinna wynosić nk 11

Jeśli N liezJia. o której mowa. zaś Y|.Yj.... wygrane koleino spotkanych zilojainycll. tn (Nżn)*=(Y|żX)...(Y_-żX). Postępuj teraz jak w punkic a) (nawet, podstawienie w calec będzie lal.ic silnio Przekonaj się następnie. Ze QN"I..|l’(NS/i) i pr/yjrz.yj się wynikowi - teraz może Cię trochę znikftęyyc

( 4/J'rawdopodobieńslwa przybycia O, I i więcej niż I zgłoszeń abonenckich do centrali u Każdym nieskończenie krótkim przedziale czasu ill wynoszą odpowiednio I-Xth.). tli i O niezależnie od zgłoszeń w innych przedziałach czasu (X>0), Określ r.p liczby zgłoszeń

a) przybywających w przedziale czasu <0.V>,

Niech/ł*(0“F(ii zgłoszeń w <(!../>). m^d(). I... Uzasadnij następującą zalc/nośc ickurcncsiiM liJU+tlt)^a(\-\- lt) liJll)+\ <ll li*\{l) Korzystając / ilcf. pocliodncj pi/cpis/ to lako równanie lo/mt Ao»«c względem / i sprawdź, że rozwiązanie: /i^(l)^m(Xj)^mc\p(-Xi)/ii! (rn:l//nl /‘ni.umin r pnraiucucm >jj