KIF98

(c)    Jeżeli jakaś liczba jest mniejsza od pewnej liczby, to ta druga nic jest mniejsza od pierwszej.

(d)    Z każdych dwu różnych liczb jedna jest mniejsza od drugiej-

(e)    Istnieje liczba najmniejsza.

(0 Nic istnieje liczba największa.

(g) Każde dwie liczby równe trzeciej są równe między sobą.

63*. Zbudujkwantyfikatorowcschematy następujących zdań:

(a)    Każdy matematyk jest uczniem pewnego matematyka.

(b)    Pewien matematyk nie jest uczniem żadnego matematyka.

(c)    Pewien matematyk nic ma uczniów wśród matematyków.

(d)    Istnieje ktoś, kto ma przyjaciela.

(e)    Każdy jest przyjacielem wszystkich.

(f)    Nikt nic jest niczyim przyjacielem.

(g)    Każdy przeczytał jakąś książkę.

(h)    Istnieje książka, którą przeczytali wszyscy.

(i)    Nikt nie przeczytał wszystkich książek.

(j)    Każdy filozof głosi takie twierdzenie, którego pewien filozof nic uznaje.

(k)    Niektórzy filozofowie głoszą twierdzenia, których nikt nic uznaje.

(l)    Istnieją twierdzenia, których nic uznają tylko filozofowie.

(l)    Istnieją twierdzenia głoszone tylko przez tych filozofów, którzy nie znają logiki.

(m)    Żaden uczony nie uznaje żadnego twierdzenia, któremu przeczy pewien fakt empiryczny.

(n)    Niektórzy uczeni uznają pewne twierdzenia, które nic zostały potwierdzone przez żaden fakt empiryczny.

64. Za pomocą znaku identyczności i symboli kwantyfikato-

rów można zdefiniować dowolny kwantyfikator liczbowy, tj.

wyrażenie jednego z następujących trzech typów:

(1)    Istnieje co najmniej n takich a, te H'(o),

(2)    Istnieje co najwyżej n takich o, te W(a),

(3)    Istnieje dokładnie n takich a. że W(a),

gdzie n jest dowolną liczbą naturalną, a — dowolną zmienną indy wid vi ową, W(a) zaś — dowolną formulą zdaniową zawierającą zmienną a.

Kwanty fika tory liczbowe typu (1) definiujemy jak następuje: Istnieje co najmniej jedno takie a, że W(a)a \J aW(a).

cir

Istnieją co najmniej dwa takie a, że W(a)s o_t\J aJH'(ajA

df

A H (aj) A fl,

Ogólnie, istnieje co najmniej n takich a, że W(a)=

es

V^al V <*!••• V    A ... A    ... A

AO^tf.A... Aa^j^aJ.

Kwantyfikatory liczbowe typu (2) definiujemy za pomocą kwantyfikarotów liczbowych typu (1) wedle schematu: Istnieje co najw yżej n takich a, że W{a) ts nieprawda, że istnieje

dr

co najmniej /i+I takich a, źe H^a),

zaś kwantyfikatory liczbowe typu (3) — wedle schematu:

Istnieje dokładnie n takich a, że W'(a)* istnieje co najmniej

df

/» takich a, że fV(a), i zarazem istnieje co najwyżej n takich a, że W(a).

Tak więc, na przykład zdanie: „Każdy prostokąt ma dokładnie dwie przekątne” reprezentowane jest w rachunku kwanty-fikatorów przez schemat:

A Ar[/*(Ar)-* V y V    a /?(*,*) a>*9« z a ~ V r[/?(tvx) A

AU^Aa^ZjJJ,

czy też przez równoważny mu schemat:

/\ V 3¹ V ²f a    a>>** z a /\ tlR(cj)—

-*(o~yvv-z)]]].

51