KIF13

Ąx[P(x)-*Q(x)]

m

~R{x, x)

103. Oceń pod względem poprawności formalnej i materialnej każde z podanych niżej wnioskowań.

(a)    Każde twierdzenie udowodnione jest prawdziwe. Każde twierdzenie prawdziwe opisuje pewien fakt. Zatem twierdzenia nie udowodnione nic opisują żadnych faktów.

(b)    Każde twierdzenie oczywiste jest prawdziwe. Każdy człowiek uznaje wszystkie twierdzenia oczywiste. Zatem każdy człowiek uznaje wszystkie prawdziwe twierdzenia.

(c)    Nikt nic uznaje twierdzeń, o których wie, że są fałszywe. Istnieją twierdzenia, o których nikt nie wie, że są one fałszywe. Zatem każdy uznaje jakieś twierdzenie fałszywe.

(d)    Każdy uznaje tylko te twierdzenia, o których nic wic, że są fałszywe. Istnieją twierdzenia, o których nikt nie wic, że są one fałszywe. Zatem każdy uznaje jakieś twierdzenie fałszywe.

(c) Jeżeli Jan uznaje jakieś twierdzenie, to jeśli jest konsekwentny, to uznaje też każde twierdzenie, które z tamtego wynika. Każde prawdziwe twierdzenie wynika z pewnego twierdzenia, które wszyscy uznają. Istnieje takie prawdziwe twierdzenie, którego Jan nic uznaje. Zatem Jan nie jest konsekwentny.

(0 Jeśli dane twierdzenie jest fałszywe, to istnieje ktoś, kto go nie uznaje. Jeśli dane twierdzenie jest prawdziwe, to istnieje ktoś, kto je uznaje. Zatem nie ma ludzi, uznających wyłącznic twierdzenia fałszywe.

Rachunek zbiorów i relacji

104*. Gdy a jest przedmiotem należącym do zbioru A, b zaś — przedmiotem, który do A nic należy, to fakt ten notujemy symbolicznie za pomocą wyrażeń:

aeA, biA.    *

Na przykład: Tomasz Mann e zbiór laureatów nagrody Nobla.

Henryk Mann i zbiór laureatów nagrody Nobla. Przedmioty należące do danego zbioru nazywamy jego elementami. Każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje elementy: tak więc, jeśli A i B są zbiorami, do których należą dokładnie te same przedmioty, to A i B są tym samym zbiorem. Symbolicznie:

A~B~ f\x[xe Anxt B\.

Twierdzenie to nazywamy zasadą ekstensjonalnoiei.

Gdy wszystkimi elementami zbioru A są przedmioty a,.

' a_t, .... a_n, to zbiór A oznaczamy symbolem:

{o, a,, ... a„},

przy czym kolejność, w jakiej wymieniamy przedmioty a,, a,.....a„, jest dowolna. W szczególności:

{a, b) -{ó, a).

* — Cwitltm* i k>i\t SI