KIF24

akijomatyka łluiyć może następujący układ twierdzeń**;

(Al) AvB~BvA

(A2) Ar\B=-Br\A

(A3) Au(BuC)-(AvB)uC

(A4) Ar\(Br\C)<*(Ar\B)r>C

(AS) Av(BnC)**(AvB)n(A\jC)

(Ab) An(B^C)~(AnB)v(Ar\C)

(A7) AuOz*A (A8)

(A9) AuA'=I (AIO) AnA'-0

Litcr>' X. i?, C w aksjomatach Al-A10 reprezentują dowolne zbiory, można więc za nie podstawić każde wyrażenie reprezentujące zbiór. Dowody twierdzeń mających postać równości są ciągami wyrażeń otrzymywanych z aksjomatów przez stosowanie podstawiania za zmienne A, B, C. wykonywania tych samych działań po obu stronach równości i zastępowania członów równości. Na przykład, dowód równości¹*;

AnA - A

jest następującym ciągiem wyrażeń:
(I) AnA=Ar\A<uO	(AT)
(2) AnA^AnAuAnA	(AIO)
(3) AnA=An(AvA')	(A6)
(4) AnA—An 1	(A9)
(5) AnA=A	(A8)

¹⁴ Rachunek zbiotów oparty na aksjomatach, w których Jako jedyne tensaay tulę występuj* symbole .u ", ./>".    . „0". . I" i „ -'", nazywamy

4Ir** BooWa zbiorów.

“ W skróde dowód ten moZiu zapisać w postaci: AnAaArtA wO--AriAuAftA^ArtAuA^aAnl-A.

m

rr ...

Udowodnij jako twierdzenia algebry Boolc'a zbiorów następujące równości (uwaga: z twierdzeń udowodnionych wolno w dalszych dowodach korzystać- w taki sam sposób, jak z aksjomatów):

(a)    A" = A

(b)    A nO = 0

(c)    Ac\(AuB) = A

(d)    UuB)'=A‘nB'

146.    Zastępując wzajemnie w aksjomatach algebry Boolc’a zbiorów symbole 0 i 1 oraz u i a otrzymujemy z aksjomatów nieparzystych — parzyste, i odwrotnie. Operacja ta. zwana przekształceniem dwoistym, przekształca również każde twierdzenie o postaci równości (zawierającej jako jedyne terminy stałe symbole występujące w aksjomatach) w nowe twierdzenie. Na przykład, z twierdzenia Ar>A-A otrzymujemy przez przekształcenie dwoiste twierdzenie A>jA = A. Dowód tego twierdzenia rekonstruujemy, przekształcając wedle tej samej zasady dowód twierdzenia Ar\A = A (zob. zadanie 145); można go zapisać skrótowo w postaci: A\jA**(AvA)r>}-(,<u4)n n(<ś u A') = AvA r\A' — A uO = A.

Sformułuj twierdzenia, które są przekształceniem dwoistym twierdzeń (b), (c). (d). podanych w zadaniu 145; odtwórz dowody tych twierdzeń.

147.    W algebrze Boolc‘a zbiorów dowodząc twierdzeń o postaci implikacji skorzystamy często z zasady, pozwalającej wykonywać te same operacje po obu stronach równości. Na przykład, dowód implikacji:

(A\jB)~B-AnB'~ 0

jest ciągiem wyrażeń :

(1)    (AvB)~B-(A<jB)r\B’=Br\B‘

(2)    (AuB) = B->Ar\B'yjBo>B’=BnB'

I

(A2. A6)

103