KIF25

(A 10) (A7)

(3)    (AvB)~B-Ar\B’vO- O

(4)    (AuB)-B-Anir-O

(a)    Dowiedź implikacji odwrotnej do wyżej dowiedzionej.

(b)    Udowodnij równoważność:

Ar*B^- A ~Au/J - B.

148. Symbole: „ — ”,.. <r”,oraz „X" niożna wprowadzić do algebry Uoo!c'a zbiorów, bcfiniując je za pomocą terminów stałych występujących w aksjomatach. Na przykład. różnicę zbiorów określić można za pomocą równości:

A-B=Ac\B\

inkluzję zaś —za pomocą równoważności:

A c B~Ar>B' = 0.

Zdefiniuj w algebrze Boo!c*a zbiorów stosunek krzyżowania się i stosunek roz/ączności zbiorów.

149. Dowodząc w algebrze Boolc’a zbiorów twierdzeń, zawierających terminy zdefiniowane, korzystamy z ich definicji w taki sam sposób, jak z aksjomatów i twierdzeń udowodnionych. Na przykład, dowód równości:

(A — B)<uB=AuB

jest ciągiem wyrażeń:

(Dc/.)

(Al)

(A5)

(A9)

(AS)

(Al)

(1)    (A-B^B^A^uB

(2)    (.A-B)vB=ByjAnB’ (3) (A-B)uB=(BKjA)n(BvB )

(4)    (A-B)vB=(BvA)cs 1

(5)    (A-B)vB=BuA (6) (A-B)\jB=AkjB

Udowodnij jako twierdzenia algebry Boolc'a zbiorów następujące wyrażenia:

(a)    (A-B)vAnB=A

(b)    (AcjB)-B=A-B

(c)    A-AnB-A-B

(d)    0 <= A

(c) A c 1

(f)    A c B=B' c A'

(g)    A c B = BkjA'= 1

150.    Zbiory, których wszystkie elementy s.-. zbiorami, nazywamy rodzinami zbiorów; symbolizujemy je za pomocą liter j/, Jf. V, ... Sumą (niepustej) rodziny zbiorów j/ (symbolicznie: \J st) nazywamy zbiór przedmiotów, z których każdy należy do co najmniej jednego elementu rodziny jł. Iloczynem (niepustej) rodziny zbiorów a/ (symbolicznie: f) jj/) nazywamy zbiór przedmiotów, z których każdy należy do każdego elementu rodziny s/. Tak więc:

x e U .</ = V *1*-⁶    * * ^e *J.

•V c f) sd z; f\ X[X€ st-*x e X).

Wskaż zbiór, który jest sumą, i zbiór, który jest iloczynem rodziny zbiorów:

(a)    a/--{{1,2,3}, {2,4.6}. {5.4, 3,2}}.

(b)    .V = {{{!}. {2.3}}, {{2}, {1,3}}, {{3}, {1,2}}).

151.    Rodzinę wszystkich zbiorów zawartych w zbiorze U (czyli zbiór wszystkich podzbiorów U) nazywamy zbiorem potęgowym zbioru U i oznaczamy symbolem 2^V. Tak więc. dla dowolnego zbioru X:

Xe2°’=Xc U.

105