Kolokwium 3 Wielomiany part 1

WIELOMIANY

I    .Nie korzystając z kalkulatora obliczyć sumę współczynników wielomianu :

a)    W(x) = (3x²⁷ - 6x²² + 2)²³²³(7x⁴² - 1 lx³³ + 3)²⁰²⁰ Odp.a) -1 ,b) 12345654321

b)    W(x) = (11 + 10x + 20x² + 30x³ + 40x⁴)²(l + 100x + 200x² + 300x³ + 400x⁴)²

2. Wiedząc,że W(x) = 3x² - 2x + 5 i W(P(x)) = 12x⁴ + 56x² + 70 obliczyć sumę współczynników wielomianu P(x) . Odp. —y- lub 7.

3. Zbadać , dla jakiej wartości parametru a wielomian W(x) = x¹⁹¹⁹ + 19x¹⁹ + 19x + a dzieli się bez reszty przez x + 1 . Odp. Dla a = 39 .

4.Obliczyć resztę z dzielenia wielomianu :

W{x) = x⁸⁸⁸ + 6x⁵⁵⁵ + 5x + 1 1 przez :a) x + 1 b) x² - 1 Odp. a) 1 b) 1 lx + 12 P(x) = x¹⁰¹ + 3x¹⁰⁰ + 5x+ 1 przez (x-l)(x + 3) Odp. 6x + 4.

5. Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumian x+ 1 daje resztę 5 , a przy dzieleniu przez x - 2 resztę 11. Obliczyć resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x + l)(x - 2) . Odp. 2x + 7.

6.    Wielomian W{x) przy dzieleniu przez (x+l)(x-2) daje resztę x +2, a przy dzieleńtiK(x - l)(x + 2) daje resztę 2x + 1 .Obliczyć resztę przy dzieleniu wielomianu W(x) przez (x+l)(x + 2). Odp. 4x + 5.

7. Wykonać dzielenie wielomianów :

a)    W(x) = x⁵ - x⁴ + 2x² - 2x + 1 przez x³ - x + 1 Odp. W(x) = (x³ - x + 1 )(x² - x + 1)

b)    W(x) = x⁵ - x³ + 1 przez x² + x - 1 Odp. W(x) = (x² + x - l)(x³ - x² + x - 2) + 3x - 1

8.Stosując schemat Homera wykonać dzielenie wielomianu W(x) = x⁷ + 2x⁵ - 3x + 7 przez : a) x + 1 b) x - 2 c) x + 2 .

9. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W{x) = 2x⁴ + 4x³ + ax² + bx + 2 przez x - 1 wiedząc , że funkcja f{x) = ax² + bx + 2 dla x = 3 osiąga maksimum równe 11.Odp. 13

10. Wykazać , że liczba xo =-1 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu

JV(x) = x⁵ + 2x⁴ - x³ - 3x² + 1 .

II    .Wyznaczyć współczynniki a i b wielomianu W(x) = x³ - 5x² + ax + b wiedząc , że liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) . Odp. a = 8 , b = -4 .

12. Rozwiązać równania : a) |(x — l)(x-2)(x- 3)| - (1 -x)(2 -x)(3-x) = 0 b) |(x - 3)(x² - 6x + 8)| + (x - 4)(x² - 5x + 6) = 0 .

13. Rozwiązać nierówności: a) x³ +x² - 16x + 20 < 0 Odp. x e (-oo,-5 > U {2}

b)    3x³ - 1 lx² - 10x - 2 > 0 Odp. x e (2 - J6 ,-y) U (2 + 7^,+oo)

c)    4x³ -x² - 12x + 3 > 0 Odp. x e (- J3 , -J-) U (73 ,+oo) .