MAT16

2.

16

f    = f Ą- - ln|/| = In a- + Jx² + A

^J    /v2 . a ^J '

/a² + /I

Podst. /y² + .'1 — t — x => x = ¹

eic = ^!~ -4-dt oraz %/a² + /ł = / - ¹    ^

21²    2t

t² + A 2/

[    —L_r// = f ^ ⁺ ^——dt = [ dt - 2 [ —= r - 2arctg/ =

J    _ i J t² + 1 J t² + I J J 1 + /^2    5

J1 -A'² + 1    _    V1 - A² + I

x

— 2arcts--^-

Podst. J\ -x² = tx -

I - A-² = t²x² - 2lx +

I: A" => a^- =    — => dx = -2—-Ur

/²+l    (/²+l)²

dt

oraz

J1 - A-² =    - 1 =* h -x² - 1 = -2i=- - 2 = -2 —

t² + 1

/² + 1

r-+1

Zadania

Obliczyć następujące całki

1.	<tx J x-Jx^2-x+\
2.	dx j l + Vl-lv-.t^:
3.	f dx J (.t-V2)/^T ’
4.	f xxJx^2-Ax dx J xjx^2-4x
5.	f #*•
6.	f </t
	J (x+Jx'--\ )

5.3. Całkowanie funkcji postaci 7?(sinA.cos.Y)

5.3.1. Podstawienia sin a = t. cos.y = t i tg.v = /

1)    Jeśli 7?(-sinA, cosa) = -R( sin a, cos a), tzn. R jest nieparzysta względem sin a. to podstawiamy cosa' = l => -s\nxdx - dt.

2)    Jeśli J?(sin.v.-cos.Y) = -R(s'mx,cosx), tzn. R jest nieparzysta względem cos.y. to podstawiamy sin a = t cosay/a = dt.

3)    Jeśli R(-sinA.-cosA) = /?(sinA.cosA), tzn. 7? jest równocześnie nieparzysta względem sin.Y i cosa. to podstawiamy tgx = i => -^jV-ć/a = dt.

sin²A =    —, cos²a =    sin.Ycos.Y =    .

r² + 1    r² + 1    r² + 1

Przykłady

1.

f sin.y(l -c°s.v) _A _ _ r 1-cos.v₍._{sin v)rfA}. ,

J 1 + COSA    J 1 + COSA

Podst. cosa = / => - sinAć/A = dt.

= - J -j—^f-dt = | ^ ⁺i    ——dt = | - 21    = (-2 In!/ + 11 = cosa - 2 ln|cosA +

[ sin²ACOS³Ać/A = J sin²Acos²A(cosAr/.Y) = | sin²A(l - sin²A)(cosArfv) =

Opracował: Marian Malec