16 (5)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

- f ^x+2 Jx-_ ¹ f^x-¥2)dx    1 r2x+2+2 ,    1 r_2x+2_ . r tft

8 •'jr +2x+2    16-'ar² +2x+2 16-'x²+2x+2 ^-16Jx*+2x+2    ⁺8V+2x+2‘

= -^ln|x^J + 2x+2| + j arc/g(x + l)

/ = —ln 16

x^:+2x + 2

x - 2x + 2

+ ^arclg(.x -l)+ — arclg(.x +1)+C

O    O

dl

103/ f2x³rfc J j ,    ,    <*    . r' 2 r tdt

^Jx⁶-8    2|    V-8    V-8

/³-8    (t-2'jfo² +2t + 4) 1-2 t¹ + 2i + 4

A ^ Bi + C    I²(a + B)+ t{2A-2B + C)+ 4A-2C

t -8

A + B = 0 -2A-2B+C=1 4A-2C = 0

A-i 6

6

c-i

3

1 1

—/+-

^/=lJ-^⁺J-rV^ ⁼ ^-²|-^J-^^{6/ 3}^ = ~ln|x² -2|—— f-r~~—

6^J/-2 V+2/+4 6    ^ 12^J/²+2/+4    6 ¹    " 12^J/²+2/ + 4

= 1 ln|x² - 2| - -j- f -_r^2/-^t 2 dt+^X-    -= -ln|x² - 2| - — ln|x⁴+ 2x²+4| +

6 ^{1    1} 12 ^J/ +2f + 4    2 ^J/² + 2/ + 4 6 ^1    1 12 ¹

dl

.Ir.

2^J(x² _{+ 1})²+3    6

= -ln|x^: -2|--ln|x⁴ +2x² +4| +

12

2V3

arclg -

x² + l

V3

+ C

Dla obliczenia całek funkcji wymiernych typu:

c-²⁷>

stosuje się wzór rekurencyjny, którego wyprowadzenie można znaleźć w innych opracowaniach. Wzór ten jest następujący:

d-28)

/_ =

1

2/7-3 ,

+ --

2/7-2 (x² + irⁱ 2/7-2

gdzie

W;

tir

Całka 104/jest obliczona z wykorzystaniem wzoru (1.28).

104/ ę 2x+l j (• 2x+2 -1    (• 2x+2    [ dx

(r² +2x+5f ^{r= J}(.r ₊ Zr ₊ 5r⁼ V₊2r ₊ 5j’    ⁼

=--2—^--/₂

-f 2.r + 5

'.'In

LJT +

2x ₊ 5j “ ^ + l)² ₊ 4|

	X+1	r 2 dl 1
r	2	U^2(t^2 + \J " 8

<//

1/1    1 x + l

----+ — arctgt =----

16 /² +1    16    8 x² + 2x + 5

J__/_₊_l_ r dt

16 /² +1 ⁺ 16 J/² +1

+ — arctg 16 ⁵

x+1

2

Ostatecznie więc: /— ¹ ’

x+l

x² +2x+5

8 x +2x+5 16

1 x+l --arctg

—x—9    1 x+l _

--arctg-+C

2    8(x²+2x+5) 16

U w asa:

Najczęściej pojawiające się błędy przy wyznaczaniu całek funkcji wy--miemych to: błędy obliczeniowe, błędne propozycje rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste.

Poniżej podano dodatkowo kilka propozycji rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste.

5x + 2

(x-2)V(2x + l)^:

A B C D_    F H

x-2    (x-2)² x x² x³ 2x + l (2x + l)²

3x + 7

3x + 7    3x+7

(2x² - 7x + 3\x² - x

A B

—--y-rr +

x-3 (x-3y

Iif⁼(x-3X2x-lXx-3)²(x ₊ 2)²⁼(x-3n2x-lXx ₊ 2)² C D E F (x - 3)* ⁺ 2x -1 ⁺ x + 2 ⁺ (x + 2^

5. Całki funkcji niewymiernych

Jest wiele postaci funkcji algebraicznych z niewymiemościami. Stąd też jest wiele metod całkowania funkcji niewymiernych.

-31-