16 (5)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

- f/⁺² <&=— f^'^r+2^^r=— J^^rH'²⁺²<fe=—    l—*L— ₌

8^Jjr+2r+2    16^Jx*+2x+2 16^jjT+2x+2    16V+2x+2    8V+2x+2

16

= — 1 n Iat³ + 2 x + 2| + — arctg (x +1)

/ = —ln 16

x^: + 2x + 2

x - 2.r + 2

+—arclg(x-l)+-ar«g(.r + l) + C

103/

r2x’dx ’ .v⁶ - 8

= 2

x² = /, xdx =

dl

dl 1 —

= 2f^-= f -^- = 1

V-8 V-8

/³-8 (f-2)(r³ +2/+ 4) / -2 /³ + 2/ + 4

/t _| Bt+C _ I²(a + B)+t(2A-2B + C)+4A-2C

l¹ -8

A = — 6

fl = — 6

c=I

3

A + B = 0 {-2A-2B + C=1 4.4 - 2C = 0

1 1

—/+-

6 ^ 1-2 V

_ 1	In U^3 2| ' f
6	^1 1 12
1	r dl 1
2	\x^2 + \J+3 6

+ 2t + 4

+ 2/ + 4 21 + 2

lżf-f-il

= -ln|/-2)-—    —Ł^ = -ln|^-2l-—f--²¹"-⁴ dt

6 ¹    ^ 12^J /² +2/4-4    6 ¹    ~ 12^Jr+2/ + 4

dt +— f———-= — lnljr² — 2| —lnljr"* + 2.t³ +4| +

2^Jr³+2/ + 4    6 ^1    1 12    ¹

= - In*³ - 2 —— InLc⁴ + 2*³ + 4 + I ]₂ I

273

arc7g^:

*³ +1

V3

+ C

Dla obliczenia całek funkcji wymiernych typu:

/ - f ^A

o-²⁷)

stosuje się wzór rekurencyjny, którego wyprowadzenie można znaleźć w innych opracowaniach. Wzór ten jest następujący:

1 x 2n-3    . _ r_j&_

C¹-²⁸)⁷"^-2«-2 (_x² _{+ l})’-^,+2_W-2 -¹ g^dzie “ “ ^J(^ + l)T

Całka 104/jest obliczona z wykorzystaniem wzoru (1.28).

104/ _r 2x+l . r 2x+2-\ _r 2x+2    , f dx

(x² + 2x+5)²    (x²+2x+5f    (x² + 2x + 5)²    ^(x² + 2x+5)²

I

J/_2,    . cY^dx iu~zr77f^dx~    Jo,-,-

x +2x+5

	X +1	r 2 dt 1
r	2	4^2(/^2 + lj “ 8

dt

/ = f ^

(x^J + 2x + 5^    |[x +1)² + 4 J

x+l

1    /    1 r dt 1    /    1    1 x + l 1

16 /² +1    I6^J/²+l    16/²+l    16    8 x² +2x + 5    16

Ostatecznie więc:

,    1    1 x+l 1 x+l -x-9    1 x+l _

I = —;----;---arctg-=m-\--arctg-+C

x² +2x+5 8 x² +2x+5 16    2    8(x²+2x+5) 16    2

U w asa:

Najczęściej pojawiające się błędy przy wyznaczaniu całek funkcji wy--miemych to: błędy obliczeniowe, błędne propozycje rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste.

Poniżej podano dodatkowo kilka propozycji rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste.

A B

H

5x + 2

(x-2)²x⁵(2x + l)³    x-2    (x-2)² x x² x³ 2x + 1    (2x + l)²

3x + 7    3x + 7    3x+7

(żx² - 7x + 3)(x² -x-6f    (x-3X2x-lXx-3)²(x + 2)²    (x-3>’(2x-lXx + 2)²

AB C D E F

x-3    (x-3X    (x-3)* 2x-l x + 2 (x + 2X

- + --— + -7-rr+-+-+-

5. Całki funkcji niewymiernych

Jest wiele postaci funkcji algebraicznych z niewymiemościami. Stąd też jest wiele metod całkowania funkcji niewymiernych.

-31-