26

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

164/

(xarclgxdx

^J"M

arclgx

2(1

+ JC

u = arctgx xdx

du =

dx

1 + x*

arclgx 1 f dx

dv =

r \( x

fiW

x_ 1 +

2(1 + X¹

^+-arcfgx

2(l ₊ ,f2V^

) (x²-\)arctgx + x . ^

J *t^;"0 ^łC

Do obliczenia całki 164/ wykorzystano wzór rekurencyjny (1.28).

165/

rarcsin* ,

I—

u = arcsin.r du ■

, dx dv = —

.v‘

dx

•Jl-x

X

dx

"I

dx

V l-A

X

x — ~ I

dl

^JWTv

dl

- + /

-f_f ~^dt =-ln|/ + VŻM| =

A--d! dx--A ''-tl i    ^ł 1

^1 i\ t² *

= -ln

x V jc

rarcsin.T. arcsin .t 1 fi I-;—dx =---^ln~⁺J—

^J X    X    X \ X

166/

rarcsin e* .

arcsin e

'-i

dl

yfTt

_ arcsin x , + C =---ln

lWl-x^J

+ C

		dl
e‘ =t	f arcsin tdt	u - arcsin/ du-—j=
e‘dx = dl		Vi-t^2
dx=*	J r	, dl 1 dv = -j v = --
1		t t

arcsint

+ 1

dl

tJT-

= f—_f£==\ . ^ =-ln|z+Vr^ł-l| = -ln-+JX-M    ¹    > V/^J

y = -łn

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

i + VT^

= -Inll + -s/l -eH + ln e‘ = x - lnll + VI -eH

Ostatecznie otrzymujemy:

rarcsin e¹, __x . _x . , r-57

--—dx=-e arcsine +x-lnI + Vl-e

167/

pfarctgxdx=

u = arclgx du=

dx

l+.v

dv=x dx    v= —

+ C

_jrWfgx 1 f/A _ x*arctgx I    I V ₌

4    4 ■'I+jt³    4    4 \ l+x^J/

x*arctgx X¹ x arctgx x⁴ -1 jbrrcrgy - x* + x ^ ^

4    4    4    4    4

168/

169/

areale)³

= « = arctglx du =

2dx

1 + 4jt

_ 1 fdu _    1

Ti,,^1-    T„~    '

I

dx

'Ty

jr² arccos² .v

u = arccos .v du = - *

TT

(■ du _ ! _

■* ?/² u arccos a:

2^J u 2u 2arcig2x 1

+ C

- + C

170/

Jln(jr + >/jr^I + l^/r =

1/ = ln(r+ -Jx² +l) du-—fi=

dv = dx 1 r 2jtcZx

»*ln|*₊T^Tl- f *£« =

^{1 J}Vx³ + l

= jrlnLr + Tv² + l|— ff--- = jrln[x+ A² +1 -yjx² +\+C

T ¹    + \ I

171/

Jln|3 + 4x|tór =

3+4x=t 4 dx = dt

= — \dt\nt = — d i    d

w = ln 1 du = — l

dv = dl v = 1

= -rlnr-- fdt =

d    d J

= ^(3 + 4jr)ln|3 + 4;r|-^(3 + 4;r)+C

f dx J x(l + In^;

ln|jf| = t *=dt

= j~~~T ⁼ arc,S^r + C = aretg (ln|x|)+ C

172/

-51 -