28

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

183/

J ii.— =[x-l=r \x'dx= hdt x³ = l¹ +1| = ^    ~arctgt= ^arctgjx³ -1 + C

x\

184/

J—=

^Jl+/ęv

tgx

tgx = t dt

dl

1 + /²

= dx

- fi+ii - f ^dt - / ³ i+/    J(i+/)(i+/²)

Pomocniczo należy rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste:

1    A    Bt + C f (vł + 5)+/(fi + C)+it + C

0^+,X^,+/2)

,4 + 5 = 0 B + C = 0 A + C= 1

A = -o

_B=-I

2

c=I 2

.    1 r dl    1 y /— r    1. u j    1 r tdt    lr dt    1. i,    i 1. i,    ₂i 1

2^J1 +t    2^Jl+r    2 ^1    1    2 ^Jl+r    2^Jl+r^J    2 ^1    1 4 ^1    1 2

=^ln|l+/gx)-il^l+/rx|+^+C=^

cosx+sinx

x+ln

i+(gy

fi

+tg\x

=—ln 2

cosx

cos²

x+sm x

+-+C

X 1

= —+ —Inlcos jr + sin x| + C

2 2 ^{1 1}

185/

rsin2x

rsin IX . r

I—Z~^dx= I

^J COS X ^J

186/

2 sin x cosxdx ^ r sin x

cos x

_{= 2}fiHL

J mc r

COS"X

r ln(cosx)<ix ■* sin² x

' cos a:

u = !n(cos x) du = - dx cosx dx

cos x = r - sin xt/r = dt

= -2 f— = —

V

+ C =

cos² X

+ C

t/v = -

v = -ctgx

= -ctgx ln|cos x| - jdx = -ctgx ln|cos x| - x+C

187/

t r,—:—,    r J(\ - sin xXl + sin x) . r-Jl-sin² x . r cosxdx    I sinx = /

Vl-sinxcfcr =    -...    .-’~dx= -7=—^=-4r=    ■    .    =    ,    ,

^{3    3} vl + sinx    ³ Vl+smx ^JVl+sinx |cosx<» = 5/

■J:

n

J

dt

1 +/ = r dt = dz

^]yf\+t

188/

r^ta(*²+1)<fr₌

= \z^V'dz = 2r + C = 2-fz + C = 2 Vi+7 + C = 2^1+sin; + C

2x<&

« = ln(x² + l) du =—

x* +1 1

2x²

, ci*

a V =-

3

X

V = -

ln(x² +1) r 2xdx 2x^2    +-»2x²(x² + l)^_

x(x² + l) x x‘ +1 189/

x(x² + l)

Do obliczenia całki wykorzystano rozkład funkcji wymiernej: 1 _A Bx + C x²(/4+5)+Cr+/t    1 x

X X* + I

f-y—-=n^,=( a^2x=r a'\nadx = dt a^xdx =    farctgfa¹ )+C

Ina lnaV + l Ina ^5V '

190/

rl-sinVx ,

-fx =r -^= = 2tdi lfx

= 2t ~ - Jsin zdz =2(r + cos z

191/

= 2 jfl-s\nt²)2rdi = 4 J;x/r—4 J/ si n/²</f = 2r -= 2(Vx + cos /²)+ C = 2 Vx + 2 cos Vx + C

2/<* = <£

(*-•/    ¹    1 '    V-2

|⁽2,> ₊ ⁴ ₊ -J__W,,^_ł4, ₊ 8|^»/

/ - ^(^;r+ l)Vx+1 +12Vx+ I ₊    ^

Vx+T->/2

Vx+T + V2

+ c

-55-