scan 7

= (n +1) (n + 2) (2n + 3) =

6

= -k«² + 3« + 2)(2n + 3) =

6

=(2n³ + 3«²+6n²+9« + 4« + 6) = 6

= 4(2n³+9n²+13« + 6) =

6

/»3    /®2    O

- ¹ r,³ J. ³ „2 , 13    ,

= — n +—n + — n+ 1 3    2    6

Zatem

L = P

Po wykonaniu działań porównujemy lewą i prawą stronę równości.

Zad.7.

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n³ + 2n jest podzielna przez 3.

Dowód:

Pierwszy krok indukcyjny (sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej)

Niech n= 1, wtedy:    Wstawiamy do n+2n w

miejsce n jedynkę i sprawić+21=1+2=3    dzamy, czy otrzymana liczba

jest podzielna przez 3.

Otrzymana liczba 3 jest podzielna przez 3.

Drugi krok indukcyjny (sprawdzamy, czy jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n, to czy jest również prawdziwe dla następnej liczby naturalnej, czyli n + 1)

(72 + l)³ + 2 (/2 + 1) =

= 72³ + 3T2² + 3/2 + 1 + 2/2 + 2 = = /2³ + 2n + 3/2² + 3/2 + 3

Wstawiamy do wzoru n³ + 2n w miejsce n n + 1 i wykonujemy zaznaczone działania. Korzystamy ze wzoru:

(jt + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³.

zgodnie z założeniem Otrzymaną sumę trzeba teraz indukcyjnym liczba ta    zapisać tak, by wykorzystać

jest podzielna przez 3    fakt, że n³ + 2n jest podzielne

przez 3 (założenie indukcyjne).

Zauważmy teraz, że każdy składnik otrzymanej sumy jest podzielny przez trzy. n³ + In jest podzielne (na mocy założenia indukcyjnego; 3n³, 3/2, 3 też są podzielne przez trzy, bo każdy z tych wyrazów jest bądź trójką, bądź ilorazem trójki i n (lub n²). Skoro każdy ze składników sumy jest podzielny przez trzy, zatem cała suma też jest podzielna przez trzy.

Odp. n³ + 2/2 jest podzielna przez trzy (dla dowolnego /ieN)

Zad.8.

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10"-4 jest podzielna przez 6.

Dowód:

Pierwszy krok indukcyjny (sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej)

Niech 72=1, wtedy:    Wstawiamy do 10"-4 w miejsce n

jedynkę i sprawdzany, czy otrzymana 10¹ — 4 = 10- 4 = 6 liczba jest podzielna przez 6.

Otrzymana liczba 6 jest podzielna przez 6.

Drugi krok indukcyjny (sprawdzamy, czy jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n, to czy jest prawdziwe dla następnej liczby naturalnej, czyli n + 1)