scan 7

= -^(n + l)(n+2)(2n + 3) = 6

= —— (/i² + 3 ti + 2) (2 az + 3) =

6

= -2-(2«³ + 3rt²+6n²+9n + 4/2 + 6) =

o

= 4(2w³+9n²+13w+6) =

o

⁼'t”³⁺4”²⁺t"⁺¹

3    2    6

Zatem

L = P

Po wykonaniu działań porównujemy lewą i prawą stronę równości.

Zad.7.

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n³ + 2n jest podzielna przez 3.

Dowód:

Pierwszy krok indukcyjny (sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej)

Niech « = 1, wtedy:    Wstawiamy do n³ + 2n w

miejsce n jedynkę i spraw-l³ + 21=1 + 2= 3    dzamy, czy otrzymana liczba

jest podzielna przez 3.

Otrzymana liczba 3 jest podzielna przez 3.

Drugi krok indukcyjny (sprawdzamy, czy jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n, to czy jest również prawdziwe dla następnej liczby naturalnej, czyli n+ 1)

t

18

(72 + l)³ + 2 (72 + 1) =

= 72³ + 372² + 372 + 1 + 272 + 2 = = 72³ + 272 + 372² + 372 + 3

Wstawiamy do wzoru n³ + ln w miejsce n n + 1 i wykonujemy zaznaczone działania. Korzystamy ze wzoru:

(jt + y)³ = x³ + 3x²y + 3x y² + y³.

zgodnie z założeniem Otrzymaną sumę trzeba teraz indukcyjnym liczba ta    zapisać tak, by wykorzystać

jest podzielna przez 3    fakt, że n³ + 2n jest podzielne

przez 3 (założenie indukcyjne).

Zauważmy teraz, że każdy składnik otrzymanej sumy jest podzielny przez trzy. 72³ + 2n jest podzielne (na mocy założenia indukcyjnego; 3t2³, 3n, 3 też są podzielne przez trzy, bo każdy z tych wyrazów jest bądź trójką, bądź ilorazem trójki i n (lub n²). Skoro każdy ze składników sumy jest podzielny przez trzy, zatem cała suma też jest podzielna przez trzy.

Odp. 72³ + 2t2 jest podzielna przez trzy (dla dowolnego n eN)

Zad.8.

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10"-4 jest podzielna przez 6.

Dowód:

Pierwszy krok indukcyjny (sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej)

Niech 72=1, wtedy:    Wstawiamy do 10"-4 w miejsce n

jedynkę i sprawdzany, czy otrzymana 10¹ — 4 = 10- 4 = 6 liczba jest podzielna przez 6.

Otrzymana liczba 6 jest podzielna przez 6.

Drugi krok indukcyjny (sprawdzamy, czy jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n, to czy jest prawdziwe dla następnej liczby naturalnej, czyli 7t + 1)

19