Skan8

2. Impólgenden befassen wir uns mit Integralen der Gestalt

dx

mx + n

ax +bx + c

a). Der einfachste Fali tritt ein, wenn ZahFer des Integrar«l^sich ais Ableitung des Nenners erweist

\~~^d*=Hf(4+^c

In diesem Fali erłialt man das Integral ohne Rechnungen z.B

f—f* ⁺ ^—dx = ln|4x² + 3x -1| + C ^J4x²+3x-l    ^1    1

Auf diesen Fali lasst sich auch das nachstehende Integral ^uruckfuhren

-dx = — ln|j>c² + 2x - 3 3    2 ¹

+ C

f ^{X +} 1 dx = ^X-\ ^2x + ² Jx²+2x-3    2^jx²+2x-

b).Die Grenzwertmethode

J- ₂-^^X-(Z\vcicinf acłteNitlłstrlhirdcsNcrmrs)    ,    ^

Zunachst wird der Nenner des Integrandenin Faktoren nach der Formel ax² + bx + c- a(x - x_{)(x - x,)

zerlegt, wobei x, und x₂ die Nullstellen der ąuadratischen Gleichung sind. In Bezug auf unser Integral ist

x² -lx + 6 = 0

A = 49-24 = 25, VA =5

Xj = 1, x₂ =6=> x² - 7x + 6 = (x- l)(x - 6)

Der IntegraJfKL

—-=- (1)

x²-7x + 6    (x-1)(x-6)

lasst sich in łolgende Partialbruche zerlegen

1    '    1 B _

-—--1--(2)

(x - l)(x -6) x -1 x - 6

Unsere weitere Aufgabe besteht darin die Konstanten A und B zu finden. Zu dieseroZweck multipliziert man (2)mit x-l und