Skan8

y/(x)

Substitutionregel (7)

wobei die Bemerkung t = ^(x)bedeutet, dass nach der Integration fur t die zu x = ę(t) inverse Funktion t = y/(x) eingesetzt werden soli.

Bemerkung: In der Schreibweise des umgestimmten Integrals scheint das Vorhandensein (obecność, istnienie) des Differenzials dx selstsam zu sein. Es wird sinnvall, wenn man beachtet, dass x = gĄt) =>dx- ę' (t)dt.

In (7) tritt also an Stelle dx das Differenzial <p'(t)dt = dx.

Das Umschreiben auf eine neue Variable lasst sich daher durch formales Rechnen mit Differenzialen bewerkstelligen (dokonać).

Bemerkung: Oft wird auch die umgekehrte Substitution angewandt

stt słł

t - if/(x) und i//'(x)cłx = dt dx =-= —

V(x) t

Die nachstehenden Beispiele veranschaulichen dieses Yerfahren.

dx

x - rsin / dx = rcostdt

rcostdt    r cos/ . rcos/ . r    „

= = r —...    dt = -dt = \dt-t + C

2 * J „ /i    2 _    J pac t    J

Vr² -r²si

sin /

rVT- sin ‘ / x

cos t

— = sin t=>t = arcsin r    r

I = arcsm —+C

^r - Ruckkehr zur Yariablen x.

Die Funktion ę{t) = r sin t    hier so gewSht, damit die Wurzel zum Fortfall gebracht wird.

x-V

r 2tdt _ <	£c// ,	•f + 4-4 ,	rft + 4	^4 Y,
= f—=^2	-J/ = 2	-dt -2	—	-\dt =
Jr + 4 J	/ + 4 ^J	t + 4	^łU + 4	t + 4)

1

³ Vx + 4 \_dx = 2tdt

2ffl—=    =

t + 4) ^J    + 4    ■'/ + 4

Ruckkehr zur Yariablen t

^/l=/7^tr*]⁼/v^=h,W=4H.

Ruckkehr zur Yariablen x

/ = 2f-8ln|f + 4| + C = 2Vx-81n|Vx + 4| + C -

3. / = J(3x + l)³<fc

3x+l=l

dt = 3 * dx

dx = —dt 3    .

₌ f,3* ₌ ll_{+c =} (3£±l)l _{+ c}

¹    3    12    12

4.

W

Vx²-1

/ = x² -l

dt = 2xz/x => xć/x = i Jr 2

= f-^ = i*2Vf + C = Vx²-l+C

¹ -Jt    ’

5.

/ = (-*-^J 2x + l

2x +1 = /

2dx-dt

dx - —dt 2

= Jy = in|r| + C = ln|2x +1| + C