Skan8

22

Aufgabe 18. Ermittle die zweiten und dritten Ableitungen von:

a) f(x) = xsin x ; b) f(x) = e™^x; c) f(x) = ln sin x ; d) f(x) = arctge^x ; e)/(x) = V2x + l

Regel von de L^?Hospital

Es sei g(x₀) = /(x₀) = 0 und lim £

*->*• gv^x/ l_0.

Einfache Umformungen ergeben

/(*)- 0    /(*)~/(*o)

ein unbestimmter Ausdruck.

/(jc)    X-X₀    *-*„    _ /'(*o)

*-"* g(x)    g(s)-0    »->* g(*)-g(*J g {x„)

x-x_n

X-X_r,

Satz: Es sei

1. lim f(x) = lim g(x) = O und g(x) * 0 in U* (x₀)

X—

2. Der Grenzwert lim    = ^~rĄ existiere (im eigentlichen oder

*-** gW g Vo)

uneigentlichen Sinne), dann ist

lim ^f{x) ~ ^/'^(X"⁾

*-***(*) ₀)

Erste Gnindaufgabe

Beispiel: Ermittle den Grenzwert lim

sin 2x tan3x

(sin 2x) lim ^v

(tan 3x)

2cos2x    2    ₂    2    2

= lim-= lim cos 2x cos 3x = — 1-1 = —

*->*    1 x->n 3    3    3

cos² 3x