Skan8

^)zeichnung des Koordinatenkreuzes. Die charakterischen Punkte werden eingezeichnet und der Graph skizziert.

Beispiele yolłstandiger Funktionsuntersuchungen    ry_K

A. Es wird die Funktion f mit f(x)=ln(ltf?Ą untersucht.^J^

1.    Die Definitionsmenge ist Df =R, da l+x²>0 fua!Tex€R.

2.    f(-x)=ln (l+x²)=f(x). Die Funktion ist gerade und der Graph symetrisch bzgl der y-Achse si^auf y =(0; oo) zu untersuchen.

(    3. Die Grenzwerte an den Randem der Definitionsmenge sind

lim ln(l+x²)=0,

.T—>0

lim ln(l^x²)=ln oo = oo

4. Schiefe Asymptoten: y =a₊ x +bx,

a ₊ = lim in (i + * ^ł)

= lim

2x    2

—— = hm —

Z -V->C0    1

1 + X

=— = 0

GO

tłu

_x    CS>    *hL

Diejunction hat keine schiefen Asymptoten und keine stfhkrechten, und keinerrfesten Stelle uneigentliche Grenzwerte aufteetefr.

5. Untersuchung der ersten Ableitung

f(x)=-^y=> hm f (x)=0

a) .Notwendige Bedingung fur lokale Extrema

f (x)=0 2x

-—- = o <=>    = o

1 4- X

b) .Es wird zunachst untersucht ob f (x) bej^ =0 ihr Vorzeichen wechselt. Da der Nenner von f (x) fur alle xsR positiv ist und«rpd jlkhler bei x₀ = 0 sein Vorzeichen wechselt,dann wechselt auch an dieser Stelle die erste Ableitung ihr Yorzeichen und zwar:

f (x)<0 fur x<0 f (x)>0 fur x>0

dieser Vorzeichenwechsel von f stellt die Existenz eines Extremum sicher (sicherstellen-zapewnić). Die Art des Wechselns des Vorzeichenś>von- nach^beim Passieren der Extremalstelle irrl^Richtung der^unehwender x-Werte deutet auf ein Minimum hin.