Skan&
6
Die partiellen Ableitungen werden „in der Richtung der Koordinatenachsen" bestimmt. Unser Ziel ist es die Ableitung nach einer beliebigen Richtung zu finden.
Definition 1. Sei z = f(x, y) eine auf der offenen Umgebung der Stelle P0 = (jc0 , y0)
definierte Funktion und v = (vx, v) ein in der xy -Ebene bestimmter Einheitsvektor und P ein in dieser Umgebung gewahlter Punkt mit den Koordinaten
(1)
x = x0 + vxt
y = y0+vyt
Existiert der Grenzwert
0 V
i \Defv f(x0+vxt,y0+vt)-f(x0,y0) ---
dann heiBt er Richtungsableitung von f im Punkt P0 in Richtung v .
Die partiellen Ableitungen kónnen ais Spezialfalle der Richtungsableitung (2) betrachtet werden. Wahlt man
namlich folgende Richtungskosinus v i = (1,0) und v 2 = (0,1), dann geht (2) beziehentlich in — (jc0 , _y0) und
dx
|~{x0,y0) uber.
ćy
Beispiel 1. Anhand der Definition ist die Richtungsableitung der Funktion
f(x,y) = x2y (3)
S 1
an der Stelle (x0, y0) = (2,1) in Richtung des Einheitsvektors v = (—, —) zu finden. Nach (2) gilt
%(x0,y0) = lim av l~>°
(*0 +-V-02(j0 +io-^o>’o (^oJo +^o)? + (^o +T^o )V3t2 +^-t3
= lim-
H0
= V3x0yQ+^xl
Im Punkt (2,1) ist also
^ = 2V3* + 1.
ov
Definition 2. Sei w=f(x,y,z) eine auf der offenen Umgebung der Stelle P0 = (x() ,y0,z0) definierte Funktion und v = (vx, vy, vz) ein Einheitsvektor und P ein in dieser Umgebung gewahlter Punkt mit den Koordinaten
X = x0 + vxt
Existiert der Grenzwert
(6)
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