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Drittens muss die Frage beantwortet werden ob es eine bestimmte Zahl S gibt, der man durch die genannten Approximationswerte immer mit beliebig vorgeschriebener Genauigkeit nahe kcfmmen kann, dass man die zugrunde gelegte Einteilung des Intervalls <a; b> hinreichend fein macht (rozdrobnić). Ist dies der Fali, so erscheint es berechtig zu sagen, dass F einen bestimmten Fl&cheninhalt besitzt und dass dieser durch die Zahl S gemessen werde. Es ist zweckmaBig flir den Zahlenwert S ein Symbol einzufuhren. Man schreibt daftir,

5 =    \f{

Und bezeichnet dieses Zeichen ais bestimmtes Integral, hier genauer das bestimmte Integral von a bis b von (oder: Ober) f(x)

Das auf Leibniz zurilckgehende Integralzeichen(ein in die Lange gezogenes S) erinnert daran, dass bei der Definition der Zahl S die Bildung von Summen eine wichtige Rolle spielt.

Ein Beispiel ftlr Berechnung eines bestimmten Integrals nach Definition

Es wird der Inhalt der FlSche ermittelt, die tiber dem Intervall l=<0;x> zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse liegt (Fig:5.). Dabei bedienen wir uns einer dąuidistanten Zerlegung mit den Teilungspunkten

7 _

x_k=a + k- ftir k = 0,1,2,..., w,

n

die das Intervall <a;b> in gleich lange Teilintervalle zerlegen. Betrachtet man den k-ten Streifen, so ist ersichtlich, dass

Fig.5. Zerlegung des Intervalls <0;x> durch die Teilungspunkte

x_k-k— fur k = 0,1,...,w n

mit Ax_k = — n

k = 1 k = 1

\ n ) n n

*Y.£

n) n

X

da /(x*_j) mit /(jc₀ = 0) und /(x_k) mit /(x_] = —) beginnt. Jetzt bietet die Bildung der Unter- und

n

OberSUmmen kleine Schwierigkeiten, nSmlich