Skan (2)

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Beispiel 3. Es wird die partielle Ableitung nach x der Funktion

(jry + yz) \n(^x² + y²

• z + sin xyz)

(10)

berechnet. Setzt man

u=x²y + yz, v = y]x² + y², w = sinxyz, dann kann man (10) schreiben

f(u, v,w) = u ln(v + w).

Nach der Kettenregel ist

3/ _ df du df 3v    df 3w

dx du dx dv 3.x dw dx

Die in (10) auftretenden partiellen Ableitungen sind

= ln(v + w) = ln(yjx² + y² • z + sinxyz)

du

df df u

x + y + yz

dv 3w v +

w

(V

+ y² • z + sin xyz

du _ ^    dv _

dx    dx

2 . 2 x + y

dw

dx

= yz cos xyz

(U)

(12)

(12)

(13)

(14)

Beachtet man die Nebenrechnungen (13), dann folgt aus (12)

f - = :.vln(V777 + Sin xyz) = , *^{ł + y} + *

x + yz + yz

+ _______yzcosxyz (15)

J^+y² + sinxyz yjx² + y" y]x* + y“ + sinxyz Aufgabe 3. Finde nach den Rechenregeln beide partiellen Ableitungen folgender Funktionen

dx

a) f (x, y) = x²y + arctan(x + yfy)

c)/ (.v. y) = e^x +v • sin(;c + ln y)

/ x x²y + sin xy

b)(x,y) = —7-y- ;

ln(*+y j

d)f{x,y) = sin(x² + y[y )cos(tan * + ln y) ;

e)f(x.y)= sin xy + ln —\e^x 1 V    x)