Skan8

Es ist anschaulich klar, dass an den Extremalstellen / (x₀) = O, da die Tangente an die Graphen in der Punkten (x₀;(/(x₀)) parallel zur x-Achse verlauft.

Satz 1: CNotwendige Bedingung fur innere Extremstellen)

Hat eine auf dem Intervall I differenzierbare Funktion eine innere Extremstelle x₀, so ist

/'(* o) ^{= 0}

Beweis for ein Minimum bei x₀: Es gibt eine Umgebung U(x₀), so dass

/(x) - /(x₀) > 0 for alle x e U(x₀)

Dann gilt

/(x)-/(x₀) _>Q

for alle x> x₀

< 0 for alle x< x₀

/(*)-/(*o)

x-x₀

Beim Grenziibergang x -» x₀ muss der rechtsseitige Grenzwert dem linkseitigen gleich sein, da/differenzierbar ist. Daraus folgt /’(x₀) = 0. Analog kann man schlieBen wenn x₀ eine Maximalstelle ist.

Hinreichende Bedingungen for innere Extremstellen

Hinfohrendes Beispiel. Wir betrachten den Graphen den Graphen der Funktion /(x) = x³ +2

Die Tangente an das Schaubild in (0;2) verlauft parallel zur x-Achse d.h. / (2) = 0, obwohl dort kein Extremum vorhanden ist. Die Bedingung / (x₀) = 0 ist daher nicht hinreichend for eine Extremstelle. Sie ist nur notwendig.

v.