Wyklad (5)

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Es ist offensichtlich, dass dieses exponentielle Wachstum nicht unbeschrankt von sich gehen kann.

Andemfałłs wiirde dies bedeuten, dass N gegen oo strebt fur t oo. Die Zahl der Bakterien kann nicht iiber alle Grenzen wachsen. Durch den insgesamt vorhandenen Platzvorrat sind dem Wachstum naturliche Grenzen gesetzt. Auf ahnłiche Weise erfolgt der Holzzuwachs bei einem Baum. Er vollzieht sich im Bereich zwischen der Rinde (kora) und dem eigentlichen Stamm und ist der Dicke des Baumes proportional.

Bei der Ausbreitung einer Infektionskrankheit nimmt die Zahl der Neuerkrankungen z.B. pro Tag proportional zur Anzahl der Kranken zu. Die Zahl der Kranken kann selbstverstandlich die Bevólkerungszahl iiberschreiten. Die Beschrankung liegt hier auf der Hand.

Zusammenfassung.

Bei den aufgefuhrten Beispielen gilt die Differentialgleichung    ^ ^

Ist der Proportionalitatsfaktor k>0, dann sprechen wir von natiirlichen Wachstumsvorgang. Andemfalls schreiben wir -k und sprechen vom natiirlichen Zerfallsvorgang. Der naturliche Wachstumsvorgang halt offensichtlich nur an, sołange er ungestórt (bez zakłuceń) verlauft.

Aufgabe 1. Die Zunahme von Keimen in einer frisch gemolkenen^ro ZeitenheitlKuhmilchist der Zahl der vorhandenen Keime proportional mit der Wachstumskonstante k=l,269/h. Eine Stundifnach dem Melken gab es 2000 Keime. Wie viele wird es nach 2 Stunden geben ?

Aufgabe 2. Eine Vakuumpompe senkt den Luftdruck in einem Testraum um 0,5 % pro Sekunde. Wie lange dauert es bis der Luftdruck auf 20% des ursprunglichen Wertes sinkt.

Aufgabe 3. Sei T die Temperaturdifferenz zwischen einem heiBen Tee und seiner Umgebung. Die Temperaturabnahme pro Zeiteinheit ist zum Temperaturunterschied proportional. Die Zimmerteaperatur betragt 20°C und die anfangliche Temperatur des Tees 80°C. ErfarungsgemaB dauert es 20 Minuten, bis sich der Tee auf 50°C abgekuhlt hat. Nach welcher Zeit sinkt die Temperatur auf 40°C ?

Aufgabe 4. Die Temperatur der Luft und damit auch des Quecksilbers (rtęć) eines Fieberthermometers betragt 20°C. Nach einer halben Minutę Messungszeit steigt die Temperaur auf 20°C. Der Kranke hat eine Temperatur von 38,5°C. Wie lange muss die Temperaur gemessen werden, damit sie auf 0,1 °C genau besitmmt wird? (Anleitung: siehe Aufgabe 3).

Aufgabe 5 In den oberen Schichten der Atmosphare entsteht durch Neutronenbeschuss aus dem Stickstoff ‘₂N N ein Isotop des Kohlenstoffs (¹⁴ N+^l0 n=⁴6 C+\ p) das Isotop¹⁴C ist radioaktiv Halbwertszeit 5730 Jahre.

Es zerfallt namlich (¹⁴ C->¹⁴ N+^/3) unter - /?- Strahlung. In der Atmosphare hat sich Gleichgewicht herausgebildet. Die Zahl der neu erstehenden C¹⁴ Atome ist nahmlich der Zahl der zerfallenden Atome gleich.

In diesem Zustand ist der prozentuale ¹⁴C - Anteil3 • 10~ⁿ % des gesamten Kohlstoffgehalts. Das Isotop ¹⁴C verbindet sich mit dem Sauerstofif zu Kohlendioxid C0₂ Durch die Photosynthese wird das Kohlendioxid von den Pflanzen aufgenommen und iiber Nahrung kommt schlieBlich auch in die Kórper von Tieren und Menschen. Es kann wegen groBer Halbertszeit angenommen werden, dass zum den Zeitpunkt des Todes der Gehałt von ¹⁴C im Lebewesen mit dem in der Atmosphare ubereinstimmt. Von nun an haben wir nur mit dem Zerfall zu tun. Die Radioatkivitat nimmt also genauso wie die Zahl der radioaktiven Keme ab. Die von dem Physiker W.F. Libby 1949 ersonnene Radiokarbon-Methode gestattet es das Alter der Uberreste von Lebewesen oder hólzemen Gegenstanden zu bestimmen. Sie werden verbrannt und das dabei frei gesetzte Kardiondioxid erstarrt beim Abkuhlen. Seine Radioaktivitat wird mit der einer gleichen Masse von C0₂ in der Luft verglichen.