Skan3

Integralrechnung

Unbestimmte Integrale

Bei der Differenzialrechnung lautet die Aufgabe: Es ist eine Funktion F(x) gegeben und gesucht wird die Ableitungsfimktion f(x)=F’(x). Fur die Funktion

F(x)=3x⁴ ist ąx)=F’(x)=12x³.

In der Analysis ist auch die umgekehrte Aufgabe von grundlegender Bedeutung. Bekannt ist dabei die Ableitungsfimktion f(x) und zu finden ist eine Funktion F(x) derart, dass F’(x)=f(x) ist. Sollte die Ableitungsfunktion von der Form

F(x)=12x³

sein, dann ist aus dem vorangehenden Beispiel ersichtlich, dass

Y ^(x)=3x⁴.

Es wirft sich aber die Frage auf, ob F(x) die einzige Funktion ist, die die Bedingung

FW)

befriedigt. Da alle folgende Funktion

Fi(x)=3x⁴-4; F2(x)=3x⁴+2; F3(x)=3x⁴+5; F4(x)=3x⁴+c;

⁴    B

diesdbe Ableitungsfimktion f(x)=12x³ haben, muB die Frage vemeint werden.

In der Physik wird oft die Aufgabe behandelt. Eine Kraft wird ais zeitabhangige Funktion Fi(t) gegeben und zu finden ist die Geschwindigkeit. Nach der Grundgleichung der Mechanik

v

und der Definition der Momentanbeschleunigung a =X'(t) fuhrt diese Aufgeben auf

m

Umkehrung der Differentiation.

Definition: Die Funktion F(x) heifit Stammfunktion (funkcja pierwotna) oder nnhestimintęs Intęgral (całka nieoznaczona) von f(x) in einem Interwali, wenn im ganzen Interwali

F\x) = f(x)

inZeichen:

F(x) = \f(x)dx.

Satz: Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), in I=<a,b>, so ist auch

F_t(x) = F(x) + C