Skan3
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Der rechts stehende Limes ist der Grenzwert der Obersummen (Fig. 3 ). Da die stetige Funktion Riemann -integrierbar ist, dann existiert der Grenzwert und stimmt mit denen der Unter - und Oberzwischensummen uberein d.h
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fm =
1
b - a
Durch Umformung und Einfiihrung der Variablen x erhalt man
(«-*)/* = | /(*)</ x
a
Man kann fur eine iiber <a\b> stetige Funktion f(x) zeigen, dass fm einer der Funktionswerte ist (Fig. 5
/(<?))■
> Fig.5.
Geometrische Deutung des Mittelwerts: Der Inhalt der schraffierten Flachę ist dem Flacheninhalt des Rechtecks mit den Seitenlangen b - a und /(£) gleich.
Satz. Sei f eine auf <a \b> stetige Funktion. Dann gibt es in <a \ b> eine Stelle derart, dass
/(£)= r— f /(*) dx
b-a J
Der Funktionswert f(£) heiBt Mittelwert
Beispiel. Bei Wechselstromschaltungen kommt es vor, dass die Spannung U und Stromstarke I Phasenverschoben um (p sind
U - U0 sin co t , / = I0 sin (p) t + ę)
Die Momentanleistung ist dabei
P = U • / - U0 /0 sin o t> sin(^y t + ę)
eine zeiabhangige Funktion mit der kleinsten Periode T = —.
co
Es wird der Mittelwert der Leistung fiir die kleinste Periode berechnet d.h.
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