Wyklad4 25252525283 2525252529

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Definition (Eigentlicher Grenzwert einer Funktion an einer Stelle):

Es ist f mindestens auf U_r*(xo) definiert. Die Zahl g hei&t eigentlicher Grenzwert an der Stełale Xo, genau dann wenn

A [(Hm

X„ = X₀) => lim /(x„) = g]

Man schreibt: Hm f (^x) — S    oder    f(x)—> g fur x->x«

x —> x₀

(

In Worten: Die Zahl g hei&t der Grenzwert der Funktion f an der Stelle xo, wenn fur beliebige Urbildfolgen (Xn) mit lim x_n = x_Q und x_n?^fcXo, der Grenzwert der

_t    n—► oo

Bildfolge f(x_n) stets d$£Zahl g ist. Man druckt dies kurz dadurch aus, dass man sagt die Funktion f strebe fQr x->X0(x gegen Xo) dem Grenzwert g zu (oder gegen den Grenzwert g) oder, dass sie gegen g konvergiert. Beispiele fur die Bestimmung von Grenzwerten

1. Finde Hm (4x + 2)

x -> 2

Es sei (x_n) eine beliebige Folgę mit {x_n} c U*(2) und ^x„ ~ 2 _f dann gilt lim (4x + 2)= lim (4x_n + 2) = 4 lim x_n +lim 2 =4-2+2=10

x + l

2. Finde lim

Es sei (x_n) eine beliebige Folgę mit {x_n} cU‘(1)und 1™ ^xn ~ 1 , dann gilt

lim x.

1

lim JE

**♦> x + 1    »-»® X. + 1 lim x. + 1    1 + 1    2

= lim

Aufgabe 1. Finde a) lim

lim IHL.

*-*3    \ X - ’

b)

c)

lim    .

^J[-^>3 X 1 ’

lim i*" ³

X+1

d)

lim

x-3 x - 3

-9 (l

0