Wyk 25252525B3ad 6 25252525285 2525252529

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Aufeabe 3. Untersuche ab folgende Funktionen auf gegebenen Intervallen differenzierbar sind a) /(*) = V4-x, (1;2) ; b) f(x) = Jx²-9 , (0;1)

Die Ableitungen zusammengesetzter Funktionen ■ . ^riM)r<AJU^)gesetzt_> dapf'{x) und g'(x) aufeinem Intervall existieren.

1. Die Summenregel. Sei u(x) = f(x)+g(x), dann gilt:

) = lim bfo ^+/,)⁺g(^xo + ^A)]~l/(*b)-^|-g(*o)] ₌

Es wird

h->0

Die Ableitung einer Summę ist gleich der Summę der Ableitungen der Summanden.

Analog ist \f-g\=f'-g'

2. Die Produktregel. Sei w(x) = /(*)^g(x)

= Hm /(* + %(*+ *)-/(*)*(*) ₌

h->0

= lim

h-vo

f(x + h)g(x + h)~ f(x)g(x + h)-f(x)g(x)+ f(x)+g(x + h)

h

= lim

/»-> o

/(* + *)-/(x)_{g(x +} h)+ g(x ₊ h)-g(x)

Beachtetman, dass g(x + h)—> g(x)furh —> 0 bei stetigen g(x), dann gilt:

(f s)    =/'g+fg'

f(x)

3. Dieftiotientenregel. Sei w(x) = ^J ' '

g(*)

f(x + h) f(x)

u’(x) = lim Ml ₌ lim /(* + %(*)-g(*+ />)/(/>) ₌ h->o    h    h g(x + h)g{x)

= lim /b + f>)g(x)~ f(x)g(x)~ g(x + h)f(x)+ f(x) g(x) _ ^ł_>0    hg{x + h)g(x)

= lim

h-+o

1

g(*)

/(*+ *>)-/(») (_x\ g(x + h)-g(x) x