Skan1

Aufgabe:jzeige, dass folgende Funktionen auf angegebenen Intervallen streng monoton steigend sind

a) f(x) = x¹ + 3x³ + 7x + 2,xe R b) /(x) = x⁴ + 3x² + e^2x,x > 0

c)    f(x) = y/r² -x² ,x e (~r;0) d) /(x) = tanx + lnVx+T,— <x< —

6    3

e) /(x) = x - arctgx, x > 0 streng monoton fallend sind

a) /(x) = 2x⁴ + x² +e~^x,x < 0 b) f(x) = — - tg lnx,x > 0

x

e) /(x) = 2x - x² + arc cot x, x > 1

Aufgabe?Finde die Monotonieintervalle und lokale Extremwerte folgender Funktionen

a)/(x) = x³ - 3x² -9x b)/(x) = x - 2cosx,x e< 0;2;r > c) /(x) = x²e^x

71 3

d) /(x) = xlnx e)/(x) = lnsinx,x e (0;;r) f)/(x) = 2x-tanx,x g< 0;2^r > \{y;—

Aufgabej^Zerlege die Zahl 4 in zwei Summanden, damit die Summę ihrer Quadrate minimal wird.    i H )>\ j>t

, Aufgabe^Zerlege die Zahl 4 in zwei Faktoren, damit die Summę ihrer Quadratwurzeln o minimal wird. j rk^?m    *

Beispiel: Beistimme den maximalen Flacheninhalt eines gleichschenkeligen Dreiecks, das einem Kreis mit dem Radius r=10cm eingeschrieben wird.

Losung: Der Flacheninhalt des Dreiecks ABC ist S = j>»(x + r),xe (-r;r)= I (1)

Der Satz von Pythagoras angewendet auf das Dreieck AED ergibt

x² +y² = r² => y = y/r²-X² (Nebenbedingung) (2) Setz man (2) in (1) ein, so erhalt man '

S(x) = ^r² -x² (x + r) (3)

Der Flacheninhalt wurde ais Funktion einer Variablen x ausgedriickt. Die notwendige Bedingung fur ein Extremum liefert die Gleichung

0 (4)

.    — x(r + x)    i—₂-j

S (x) = —+ -x -2 2 ■\lr -x

Einfache Umformungen fuhren auf die ąuadratische Gleichung

2x² +rx-r² = 0

dereń einzige sinnvolle Nullstelle x = — ist. Setzt man x₀ = - + Ax,(Ax klein). So wird

2 2

ersichtlich, dass die erste Ableitung S (x) in der rechtsseitigen Umgebung von x₀ negativ ist,

da bei Ax > 0 der Nenner des Bruches von (4) kleiner wird und der Zahler absolut genommen steigt und d.h., dass der Bruch abnimmt. Dies trifft auch fiir den zweiten Summanden von (4)

y

zu. Aber S (x₀ = —) = 0. Das Abnehmen der Ableitung fiir Ax > 0 bedeutet, dass

1

(x₀ + Ax) < 0. Analog kann man zeigen, dass S (x₀ - Ax) > 0. Der Yorzeichenswechsel von