Skan�

14

Aufgabe 7. Ermittle folgende Integrale nach Definition

dx

x

Z.    J    /i    A    A

a)^dx\    b)^xdx\    c) Jcosxć/x;    d)^s\ntdt\    e)j

Anleitung zu e) Bediene dich der nicht - aąuidistanten Zerlegung

Z., := I 1 = x^u < x^/n < x²" < ... < n^/n = x

Es ist hier offensichtlich, dass die Teilungspunkte eine geometrische Folgę bilden.

Eigenschaften des Riemann - Integrals

1. Linearitat des bestimmten Integrals. Sind f(x) und g(x) auf < a,b > Riemann - integrierbar, dann ist auch cf(x) + dg(x) integrierbar und es gilt

u    n    o

\[cf (*) + df (x)]rfx = c\f{x)dx + d Jg( x)dx

Ein Spezialfall davon ist

u    u

jc/(x) dx = c {/(*) dx

2. Additivitat bzgl des Integrationsbereiches. Ist a <c <b ,so ist f(x) genau dann auf

<a \b> integrierbar, wenn f(x) auf den Teilintervallen < a ;c> und <c \b> integrierbar ist.

o    c    o

^f(x)dx - J f(x)dx + [f(x)dx

und aus

i

u    o    a

J/(a) dx = 0    fo lg t    j/(x) dx = - J/(x) dx

3. Partielle Integration

u    u

^uv'dx = [uv\ - ^u'vdx

4. Integration durch Substitution. Die Formel

j/M dx =