Skan6

Aufgabe: Wende den Satz von Lagrange auf folgende Funktionen an

a) /(x) = arcsin x,<-l;l> b) f(x) = ——,<0;2> c) /(x) = lnx,< \;e >

x + 4

71

d) /(x) = tanx,< 0,— > e) /(x) = arcosx,<-l;l >

n,

Beispiel: Zeige, dass | tantana |>| b -a \,a,b e (0;—).

n

Da tanx auf < 0; — > die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes erfullt ist. 4

(tanx)'^ =

tan b - tan a

1

tan b - tan a

b-a

Da cos² c < 1 ist

₂    . . tan 6 - tan <2

cos“ c b-a > 1 <=>| tan b - tan a\>\ b-a

b-a

Aufgabe: Zeige, dass

a) e^b -e^a >b-a;b,a > 0 b) | arcsinb -arcsina |> b-a\b,a e< 0;1 > c) e ^x > 1 -x;x > 0 d) | sin¹⁰ b - sin¹⁰ a |< 101 b -a \;b,a e R

Monotoniekriterien

Sei/eine auf I=<a;b> streng monoton steigende und differenzierbare Funktion. Der Differenzquotient

>0

f(x₂)~f(x i)

Fur alle x, ,x₂ e I. Dies trifft auch fur den Grenziibergang x₂ = x —> jc₀ = x, zu, (da xj und x₂ beliebig in I sind) d.h.:

lim — ^^    = / (x₀) > 0 ftir alle x₀ e I !

jc->0    % — %

Es soli die Umkehrung des Satzes bewiesen werden namlich. Ist / (x) > 0 auf I => / ist streng monoton zunehmend auf I. GemaB dem Mittelwertsatz ist

f (c)>0,ce(x₁;x₂)el

f(x₂)-f(x i) x₂ -x, '

Daraus folgt: /(x₂)-/(x₁) > 0 fur x₂ -x, > 0 <=> /(x₂) > /(x,) fur x₂ > x, (w.z.b.w.) Monotoniesatz: Ist/eine auf I differenzierbare Funktion und

/ (x) > 0|    streng monoton steigend

/■(,)< oj ^ftiralle ‘’^{daml is}‘/^{auf 1}    streng monoton fallend

Aufgabe: Finde die Monotonieintervalle folgender Funktionen

a)f(x) = x²-4x = 2 b)/(x) = i^²-x²-3x + l c)f(x) = ^A~x² d)/(x) = e'¹'²'

1 -X

^e)/(*)=    , ł) f{x) = ln-y/l -x² g)/(x) = sin²x h)/(x) =

0 f(x) = 2x-arctanx j)/(x) = x-2sinx k)/(x) = arcsin x + - l)/(x) = xlnx

x

^m)/(*) = *²ln* n) /(x) = ax + arccosx,a > 1