Skan6

21.

Auf ahnliche Weise kónnen die anderen Umkehrfunktionen zu den Hyperbelfunktionen gefunden werden. Es gilt

arshx = ln(x + jx² +1 j _yxeR archx = ln(x + Jx² -lj , x > 1

ar tan Ib x =    ,|x|<l

ar cot ln x = — ln    ,|x| > 1

2 x — 1    ^{1 1}

Beispiele: J

dx

Vax² +bx + c

A <0,a > 0

dx

V*² +2x + 5

Die Diskriminante der ąuadratischen Funktion /(x) = x² + 2x + 5 unter dem Wurzelzeichen ist A = -16 und f (x) l£sst sich folgendermaBen darstellen

x² + 2x + 5 = (x +1)² + 4

W

dx

t](x + \)² +4Ldx = 2du _

- f.- f

du u = sht

V4w²+4 ^J V«² +1 L^^w =

I_x = jćfr = t + C = arshu + C = ln^/ + V«² +l)+ C = ln

x + l

=f

chtdt 4sh²t +

x +1

+ 1

+ C

Bemerkung: (lnax) = — = —= (lnx) o f— = lnx + C = lnax + C,

ax x    ³ x

Oder: I = f— = lnx+C = lnx + lna-lna + C = lnax + C,

J u    ^V"" ' ■ 'V ‘ ' ^J    *

C,

Daher gilt: /, = ln 2

x +1

X +1V

2 ,

+ 1

+ C — ln^x +1 + ^(x +1) + 4^j + C,

Wie man leicht einsieht, die Wurzel V« ² +1 wird zum Fortfall gebracht, indem man fur u

eine geeignete Funktion wfchlt. Ist sie von der Form ^[u²~-i. So ist naheliegend u-cht zu substituieren.