Wyk 25252525B3ad 6 252525252810 2525252529

10

_    ,    tana,-tana,

Beachtet man: tan(u₂ - ar) =-,

\ l + tana₂ćga,

tana, = f\x₀)und tana₂ = £'(*())>

=> (p - arctan

So ergibt sich:

g'(x₀)-f\x₀) l + g\x₀)f'(x₀)

g'(x₀)-f'(x₀)

1 + g\^x)f'M

Sonderfall: Ist 1 + g' (x₀)/' (x) -> 0, so

n

strebt tg(p —» 00 :=> (p -> —

Ist    g'(x₀)f'(x») = -!

So nimmt man an, dass (p = —

2

Beispiel: Finde den Schnittwinkel der Graphen der Funktionen /(x) = 2x² - 3x - 4 und g(x) = x² flir jc > 0

Lósung: Im Schnittpunkt haben beide Graphen die gleichen Koordinaten d.h.:

f{x) = g(x)

2x² -3x- 4 = x²

Die obige ąuadratische Gleichung hat folgende Nullstellen: x, = -1 und x₂ = 4. Die Ableitungen der Funktionen f und g bei x₂ = 4 sind:

f'(x) = 4x-3=>f’(x₂) = 13 und g'(x) = 2x => g'(4) = 8 und (p = arctan

Aufgabe 8. Unter welchem Winkel schneiden sich die Graphen der Funktionen? a) f(x) = 2x²-3x + 6, g(x) = x²+2x;    b)f(x) = 3\ g(x) = 5^X;

^c) f(^x) = sinjc,g(jc) = cosjc fur 0<x<2n

d) /(x) = tan x, g(x) = V2 sin jc;0 < jc <

n

~2

Aufgabe 9. Ermittle die Gleichungert der Tangenten an die Graphen von f, die zur gegebenen Geraden g parallel ist.

^a)f(x) = x² +jc + 1, g(x) = 3x -1;    b) f{x) = sin jc + cos x, g(x) = x - 2;0 <    < 2n

^c) /(x) = 2x + tan x, g(x) = 4jc-3; d) f(x) = 2x² -x + 2, g(x) = 3x

Aufgabe 10. Eine Parabel 3. Ordnung (d.h. das Schaubild eines Polynoms - wielomian — 3.Grades) hat in(0,0) die x-Achse ais Tangente. Finde die Gleichung des Polynoms, wenn:

a)    die Tangente an die Parabel in( 1,1) parallel zur Geraden y=5x-l ist,

b)    die Normale (d.h. die Senkrechte zur Tangente) in(l,3) parallel zur Geraden

¹

y = — x +1 ist.

8

Losungen: a) /(x) = x³+x²; b) /(x) = 2x³+x²