Wyklad5 252525252810 2525252529

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i

Anwendung der Satze ii ber stetige Funktloncn

UL

-Aufgabe:

Zeige, dass die Gleichung x + 2x — 4 = 0 im Intervall (1 ;2) eine Nullstelle hat und finde sie auf — genau.

Lósung:

o

Die Funktion f (x) -x + 2x - 4 ist in R stetig. In den Endpunkten des lntervalls I =< 1;2 >

ist:

/(1) = — 1 <0, /(2) = 8>0,

Gemaft dem Nullstellensatz hat /(x) in I mindestens eine Nullstelle. Da x³ und 2x in I streng monoton steigend ist, dann kann das Schaubild von / die x-Achse nur in einen Punkt in I schneiden. Somit gibt es nur eine Nullstelle in I.

Halbiert man I, so entstehen    L    =<    1:1— >    und    h    =< 1 — ;2 >.    Die    Funktionswerte:

¹    2    ²    2

/(1) = -1 und /(|) = 2,

deuteten darauf hin, dass sich die Nullstelle in /₁ befindet.

1 1 1

Flalbiert man /,    weiter zu    L    =< 1:1— >    und    I_A =< 1 — ;1— >    und    findet,    dass:

^{1    3}    4    ⁴    4 2

/(¹7) ⁼ S^>0 (und/(l) = -l<0)

4    60

so ist ersichtlich, dass die Nullstelle zu /₃ gehórt.

Wir gehen noch einen Schritt weiter und stellen fest, dass:

/(lF) < 0 (und /(IF) > 0 8    4

Die Nullstelle befindet sich folglich in < 1 — ;1 — >

8 4