Wyklad4 25252525281 2525252529

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Grenzwerte von Funktionen

Hinfuhrendes Beispiel

Sei: f(x)= x²-l fur xGR\{ 1}    (1)

x-1

Die Funktion ist an der Stelle Xo=l nicht definiert. Wir sprechen von einer „Definitionslucke^u. Wir wollen untersuchen wie sich die Funktionswerte bei Annaherung an diese Stelle verhalten. Dazu bilden wiq zwei folgen (x’_n) und (x"_n) mit

x’„=i4

X”_n=l+i

ⁿ Y\ j

)

lim x”_n=l,

h-X>o

(2)

Dereń Grenzwerte die Zahl 1 ist. Wir bezeichnen diese Folgen der Argumente ais Urbildfolgen. Jedem Glied der Folgen (2) entspricht genau ein Funktionswert

,f(x’n)

l(Pzw.f(x”„)der Funktion(l). Diese Funktionswerte bilden neue Folgen (f(x’_n)) und (f(x”_n)). Sie heissen auch Bildfolgen.

Die Folgen der Funktionswerte (die Bildfolgen) haben die Grenzwerte. _k2.

lim    - Lirff]

A-ź-A

r\-yco tv

n-^oo

-x

lim f(x”_n)=lim n    r> **

(A+k) - A

-z

Zusammenfassung:

Die Glieder der Urbildfolge (x’_n) mit x’_n=l-^<l

Stelle x₀=l von linksher und die zugehórige Bildfolge (f(x_n)) hat den Grenzwert 2. Den gleichem Grenzwert hat die Bildfolge (f(x_n")) aber die Glieder der Urbildfolge x_n'-l+^>l nahren sich der Stelle Xo=l von rechts her.