Wyklad4 25252525285 2525252529

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Man sagt es strebt x von links her gegen xo (in Zeichen x—►xo-0⁺). Beim linksseitigen Grenzewert wird vorausgesetzt, dass (x_n) irgendeine gegen x₀ von links her konvergierende Folgę ist und, dass alle Folgen zugehórige.Funktionswerte f(x_n), jedes Mai gegen ein und immer gegenein und denselben .•    •.. Grenzwert

konvergieren.

Beispiele: Finde die Grenzwerte

a) lim 1¹ ~ ²!_;    b) lim k ~ ²!; c) lim sign (x - 1)

x-»2⁺ X - 2 ’    x-+2    X - 2 ’    X->1 ⁺

Zua)

⁷ x->2 ⁺

1¹~²I

x-2

= Wir setzen: x=2xn, wobei (Xn) eine Nulłfolge mit Xn>0 ist.

lim k_^1= lim 1^{2 + 2}L lim KJ= lim ^x»

*->2 ⁺ jc - 2 ^JC»"^ł0ł 2 + x„-2    ¹»->o ⁺ X,,    ⁺ x„

Der Grenzwert kann auch berechnet werden, ohne die Folgen und die Folgen der Funktionswerte zu nennen. Kurz:

(wobei x-»2⁺<=>2+0⁺)

lim |¹-2L|2 + Q»-2|,0^1

X- 2    2 + 0⁺ - 2    0 ⁺

Zub) lim

⁹ x->2

k-2|_ l²-O^ł-²Lo- ^

X - 2    2-0⁺-2    0~

(wobei x-»2'<=>2-0⁺)

Zu c) Jim, sign (x - 1) = _si_gn (1+Q^ł-1)= sign 0^ł=1

Es ist selbstverstdndlich, dass wenn

lim /(¹) = g ,    (i)

■¹ ~^{1 x}o

dann gilt auch

lim f(x)=g _Und lim f(x)=g ₍₂)

JC —> JC₀    X-> Xq

1

rv

Es gilt auch das U/fgekehrte:

Existieren die beiden Limites und sind einander gleich, dann gilt auch (1). Stimmen also die einseitigen Grenzwerte an einer Stelle miteinander uberein, so existiert ein Grenzwert an dieser Stelle.