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Grenzwerte von Funktionen bei Unendlich (w nieskończoności)

Def.: Die Funktion f hat einen eigentlichen Grenzwert g fur x —» oo (x -» -oo), wenn fur jede Urbildfolge (x_n) mit x„—» oo (x_n —> -oo) die Bildfolge stets denselben Grenzwert g hat.

Man schreibt dafur

lim f(x) = g,

genau dann, wenn

a ((lim x_n = oo) => (lim f(xj = g\

(x ) ^L n—ko    n—ko    ^J

k)cs(oo)

wobei S (oo ) = (r; <») die rechtsseitige Umgebung von r bedeutet.

I)

Aufgabe 1: Begrunde anhand der Definition des Grenzwertes bei Unendlich, dass

a) lim

x +2    1

.. e^x+\

*-^>0° 3x+ 2

= - ;b) lim ₂ = - ; c) lim E — = O ; d) lim —^ = 1

3 x*co i _ 2x 2    *-**> yxJ    „A

Satz: Die Funktion f hat keinen Grenzwert bei Unendlich, wenn es zwei Urbildfolgen (x_n )

tt

und (x_n ) gibt mit

t

1.    lim x_n = oo,

fi—>co

tt

2.    lim x_ = oo.

und lim f(x_n ) * li_m /(x_n ).

Aufgabe 2: Zeige. dass folgende Grenzwerte nicht existieren a) lim sin x ; b) lim —— ; c) lim cos Vx ; d) lim ^1311X

.r-yco    4 ₊ cos x *-►*    sin x