Wyklad4 25252525284 2525252529

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Aus der Forderung, dass eine Funktion an einer Stelle x₀ nur einen Grenzwert haben darf ergibt siclijolgendefy Eine Funktion hat an der Stelle Xo keinen Grenzwert,wenn es zwei Folgen (x’_n) und (x"_n) gibt derartdass

1.    lim (x’_n)=x₀

2.    \\m(x_n)&k    wobei x’_n und x"_r##

unrl lim f(x’_n)^ lim f(x"_n). n**- r\~>oo

Aufgabe 1:

Begrunde, dass folgende Funktionen keinen Grenzwert haben. a), lim • b).limr^i-^ c).limJJ^L d) .lim tan^r e).lim d-x-p<Q 1T / Jrt-H    K y~>0 ^X x-*0^U X

f).lim sin><    g).lim E(sinJ$

y-^oo

h).ltfi3^si

jTyr

smx

Einseitige Grenzwerte

In manchen Fallen ist es angebracht bei der Suche nach dem Grenzwert nur diejenigen Punkte ins Auge zu fassen, die nur rechts oder links von x_G liegen.

Definition: Das Interwal 1 xfi(x₀j x₀+r)=łf[x₀⁺)

0

—f-i-}-)X

Xo    X₀+_t

heisst rechtsseitige Umgebung von x₀ und das Interwali x€(Xo-r ;x_G)= U(x₀')

0

—F——*-1-/X

x_D-r    x_G

heisst linksseitige Umgebung von x_G

Definition: Sei f eine auf der linksseitigen Umgebung V(x₀")defmierte Funktion und es gilt

X\

<Vn1    {x„}C V(x₀‘)

dann heisst g linksseitiger Grenzwert von f(x) bei x_G,in Zeichen: ^im_f(x)=g oder f(x)—>g fur x—>x_o-0⁺ oder f(x₀‘)=g.

Efer bedeutet 0⁺ eine beliebige Nullfolge mit x_n>0