Skan4

Stctigkeit und Differenzierbarkeit

Hinfuhrende Beispiele: Die Funktionen f(x)=2+|x-l| und g(x)=|sinx| haben mindestens eine “Knickstelle”

Betrachtet man die Funktion g(x), so ist aus dem Schaubild ersichtlich, dass es an der Stelle x₀= J1 zwei Tangenten tj und t₂ hat. Zu jeder gehóren andere Steigungen d.h.: g.‘(ji)^g+’(ji). Die Funktion g(x) ist bei x_g=ji nicht differenzierbar. Dies trifft auch fur f(x) bei xo=l zu. Beide Funktionen sind jedoch bei xo stetig.

Sei ę

xsin — furx^0 f(x)= <    ^x

0    fur x=0

Die Funktion g(x) = jcsin — (x^0) hat bei 0 einer Grenzwert. Nach dem Quetschlemma:

JC

— | x |< x sin — <| x |

1 ^X

Ist namlich lim xsin 0 . Der Funktionswert f(0)=0 stimmt also mit dem Grenzwert

x-*0    X    ⁷

lim f (^x) uberein und das bedeutet, dass f(x) bei 0 stetig ist.

jc—

/(O)

= lim

h-+o

/z sin — 0

h

h

. 1

= sin —

h

Die Ableitung existiert nicht, da der Differenząuotient fur h->0 zwischen -1 und 1 Schwankt.

Satz: Ist/an der Stelle xo differenzierbar, so ist sie dort auch stetig.    \

..................*..........................................................................

Die Umkehrung des Satzes ist falsch. Differenzierbarkeit ist also eine starkę Eigenschaft ais Stetigkeit. Man sagt auch, dass Stetigkeit eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung fur Differenzierbarkeit ist.