Wyklad (1)

Differentialgleichungen

Hinflihrendes Beispiel und grundledende Bezeichnungen

1. Ein Stromkreis, der eine Stromąuelle mit der Spannung Uo einen Kondensator mit der Kapazitat C elektrische Leiter mit dem Widerstand R enthalt wird zur Zeit t=0 eingeschaltet. Wie andert sich die Stromstarke I im Stromkreis und die Spannung Uc am Kondensator?

Lósung.

Die elektrische Kapazitat ist definiert

C =

Q_

Ur

=> u,

Dabei ist Q die am Kondensator gesammelte

Ladung. Die Spannung am Widerstand ist nach den Ohmschen Gesetz U_R -IR. Da alle Elemente in Reihe geschaltet sind (Fig.l.), so gilt nach dem Kirchhoffschen Gesetz

u₀=u_R+u_c

Beachtet man die genannten Beziehungen, so ergibt sich U_a=IR ₊ ^f^t (1)

Zu Beginn (t=0) gibt es am Kondensator noch keine Ladung. Es gilt

u. -

(i)

Die zur Zeit t=0 bekannte Stromstarke wird Anfangsbedingung genannt und ais Io gesetzt.

DifFerentiation der obigeaGleichung nach der Zeit fuhrt zu

W)

o = R^d±₊ LŚQ. dt C dt

Nach Definition ist —p- = I die Stromstarke. Symbolisiert man, wie es in der Physik und Technik ubłich ist, die Ableitung nach der Zeit mit einem uber dem Buchstaben aufgesetzten Punkt, so erhalt man

RI+—I = 0o

C

(2)

(2) heifit Differentialgleichung. Jede differenzierbare Funktion I(t), die (2) auf einem Intervall (a,b) erfiillt wird Lósung der Differentialgleichung (Dgl) genannt (rozwiązanie lub całka równania różniczkowego). Um sie zu finden wird (2) umgeformt

dl_

I

(3)