Wyklad (19)

y = e " mit y'-re™ und y"= r^{1 2}eⁿ (2) der Dgl (1) geniigt. Zu diesem Zweck setzen wir (2) in (1) ein

(r²+ar + b)e”^c = O (3)

Wir sehen, dass dies genau dann móglich ist, wenn

Die obige Gleichung wird charakteristische Gleichung odm charakteristisches Polynom genannt. Auf das Vorzeichen der Diskriminante

A = a² -4b²    (5)

kommt es an welche Form die allgemeine Lósung von (1) annimmt. l.Fur A > 0 gilt

-a-^a² -4b²    -a + Vet² - 4b²

f\ =—----, r₂ =---

(6)

Damit lautet die allgemeine Lósung

v = (>^r,v +C^^V

2.1m Falle A = 0 kommt eine zweifache Nullstelle in Frage

(7)

Wir sehen sie ais Grenzlange benachbarter Nullstellen X und X + AA an. Nun wir haben mit zwei linear unabhangigen Lósung

und e^(Ji+AJi)x (8)

zu tun. Damit ist nach Satz 2 der vorigen Nummer

(A+AA)x Xx

-e" x_xe^Ux-l

AA

= e

AA

(9)

ais Linearkombination von (8) (Cj = — ,C, = ——) auch eine Lósung von (1). Setzt man Au = xAA, dann

AA    AA

gilt

x = x (10)

, AA*

lim —

^AA-^° AA    Au

Die Funktion xe^Ax ist also auch eine Lósung der Dgl(l). In Anlehnung an Satz 2 ist daher

1

_r e^-l

2

= lim