Skan

12

Die Umkehrung des Satzes ist falsch. Einige Beispiele dafiir bieten die Funktionen /, (x, y) = x^2n+l, f₂(x,y) = y^2n+l, ne A , die in P₀ = (0,0) die Bedingung (5) erfiillen und in P₀ kein Extremum besitzen.

Beispiel 1. Die Funktion f(x, y) = x⁵ + y⁵ mit /(0,0) = 0 hat in P_Q = (0,0) kein Extremum, da sie in beliebiger Kreisumgebung x² + y² < r² sowohl positive ais auch negative Werte annimmt und damit im Widerspruch mit den Definition 1 und 2 steht, obwohl sie der Bedingung (5) geniigt

Aufgabe 6. Zeige, dass folgende Funktionen

a)f{x,y) = x² y³    b) f(x,y) = x² - y²    c) f{x,y) = x + y³

in P₀ - (0,0) kein Extremum haben und das notwendige Kriterium fur ein Extremum erfiillen.

Satz 2. (Hinreichende Bedingung fiir ein Extremum)

Die Funktion f(x,y) habe in einem Gebiete der x y- Ebene stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung und an einer inneren Stelle (x₀, y₀) gelte

l.Ło , Ło,    (6)

dx    dy

d^2f	d^2f
dx^2	dxdy
d^2f	d^2f
dxdy	dy^2

(7)

Dann hat f an der Stelle (x₀, y₀) ^eiⁿ isolierles Extremum und zwar ein Minimum, wenn

14>° °^der TT^>0

ax    oy

Bemerkung. Schreibt man die Bedingung 2 in der Form

dx² dy²

d²f

dxdy

2

>0

(8)

dann ist ersichtlich, dass die Ungleichung (7) nur bei gleichen Vorzeichen der Ableitungen und f erfiillt wird. Es ist daher ohne Bedeutung ob man das Vorzeichen von f_xx oder von / betrachtet.

Beispiel 2. Es werden die Extremstellen und Extremwerte folgender Funktion

f(x,y) = xy(l-x-y)    (9)

gesucht. Die notwendige Bedingung (6) ergibt