Skan‰
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Fig.8.
Die FlachÄ™ des krummlinigen Trapezes (fett gezeichnet) stellt die Differenz der Flacheninhaltsftmktion^
AS0=S0(x+h)-S0(x) dar.
^>>wir wahr, dass die FlachÄ™ des krummlinigen Trapezes (in Fig.8.) sich durch zwei rechteckige Streifen der Breite h und der Hohe f(x) bzw. F(x+h) einschachteln lSsst d.h.
/{x)h < AS0 < f{x + h)h
Dividiert man die Ungleichungen durch h und und beachtet, dass AS0 -S0(x + h)-S0(jc) ist, soerhalt man
f(x) < 5°(j+*) 5°(x) < f(x + h) h
i i
m
f(x) fur h~Â¥ 0
Fuhrt man jetzt den Grenzubergang h -> 0 durch, so erhalt man fur stetige Funktionen und in UbereinStimmung mit dem Quetschlemma
A-O h
Der obige Limes stellt die Definition der Ableitung von So(x) dar, d.h.
S0 (*) = /(*)
w.b.w. (was zu beweisen war)
Die bewiesene Beziehung stellt einen Zusammenhang zwischen der Ableitung der Flacheninhaltsfunktion S0(x) und der Funktion f (x) her. Es ist uns also die Ableitungsfunktion f (x) bekannt und gesucht wird die Stammfunktion. Der DifFerentialvorgang muss also umgekehrt werden, um von S'0(x) zu S0(x) zu gelangen. Die rechenaufwendige archimedische Streifenmethode wird im Folgenden durch die Integralrechnung ersetzt. Es wird also gesucht
£<>(*)= Jf(x)dx 0
0)
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