str018

•12

Stąd

Fu Go = (F₀ - Go) U Go = F₀ U Go C .4₀.

F₀ C FUG₀ C A₀,

a więc

A*(Fo) < /r(FU Co) < /i(FU G'o) < fi.(Ao), ale /i(F₀) =/t.(.4₀).

Zatem jr(FuGo) = /r.(.4o).

Udowodnimy teraz równość

(3)

n=l

Zauważmy, że R = (R U Go) — Go oraz, że zbiory G’„ są parami rozłączne. Otrzymujemy równości

/i(F) = fł((FUG'o) - Go) = /i(FuGo) - /t(G‘o) = /r.(.4o) ~ 1J Gn)

oa    co

= M-4o)- X]^(G») = /j.(.4₀)- ^T/j.(A„).

n=l    n=l

Aby zakończyć dowód nierówności (1), wystarczy wykazać inkluzję

(4)

Mamy

oo    00

F = Fo - Go = Fo - U G'_n = Fo - \J (F_n U (F₀ - C„))

n = 1    n=l

co    co

= Fo n Pl (F' n (Fo n C'J) c F₀ n p|(Fó uC'„) = F₀ n p C„ c p| C„.

n = 1

Wykażemy teraz, że C„ C Bo

OO    OO

Rc„= n U ^E*' Bo = {J(B_nnE_n)= U |J (Eh n E_n)-

F C Pl G_n C Bo-

n=l /

n=l

co n- i

n=l

iixl fc?£n

n=2 fc = l.

Jeżeli x 6 C„^J, to istnieją takie liczby k_0l n₀ (Jb₀ < n₀), że r 6 Fjt₀ n E_nol więc * e    ⁿ F_no), czyli z e B₀. Z (4) wynika, że ji(F) <    Stąd oraz

z (2) i (3) mamy nierówność

MAo) - f>(A_n) < f>*(A„) - ^(Ao).

n = l

11= 1

A zatem

skąd wynika nierówność (1). Udowodniliśmy więc. że jest miarą zewnętrzną.

49.    Zauważmy, że dla dowolnego .4 C X /i.(A) < /i‘(A), stąd i z założenia, że f.t‘ jest miarą zewnętrzną skończoną wynika, że v* też jest skończona. Na podstawie warunku (III) z zadania 31 wystarczy sprawdzić, że dla dowolnego zbioru A C R zachodzi równość

u{X) = if{A) + u’(X - A).

50.    OT jest niepustą rodzina, ponieważ 0 6 OT. Jeśli Z 6 OT, to Z = AuB, gdzie A € OT, B C C 6 OT, p(C) = 0.

Łatwo sprawdzić, że

z' = .4'nc'u(C'nś'riB'). gdzie .4'nC'eOT,

C n .4' n B' C C € OT i fi{C) = 0.

Zatem Z¹ £ OT_

Jeśli Z_n 6 OT dla n £ N, to

Z_n = A„UB„, gdzie A„ £ OT,

B_ncC„e OT, n(C„) = 0.

Wówczas

U Zn = U -⁴" ^U U ^S-" «^dzie U ^e W-

a = l

u = l    n = 1

W    UU    w

U Sn c U Cn e ot, /*( U ^Cn) = ^{0i więc} U ^e

(łs 1

n= 1

n = l

n = 1

Udowodniliśmy, że OT jest cr-cialem.

51. Niech Z = .4i U B_u A, € OT, Bi C Ci £ OT, ^(C_x) = 0 i Z = A-. U B₂. A₃ 6 OT, Bi G C-j € OT, /r(C₌) = 0. Ponieważ A2 - Aj c Bi, więc /i(Aj - A_t) = 0. Analogicznie/r(Ai - Ao) = 0. Stąd wynika, że jł(Ai) = n(A%). Funkcja zbioru Ji jest określona na cr-ciele OT i Ji(0) = 0. Aby wykazać, że Ji jest miarą, rozpatrzmy ciąg zbiorów {Z„}„en parami rozłącznych należących do OT. Wówczas Z_n = A_n U B„, gdzie A_n € OT, B_n C C_n 6 OT, p(C„) = 0 i zbiory A„ są również parami rozłączne. Stąd

OO    CO    co

( l_J ^ⁿ) ⁼ M ( U ■⁴'ⁿ) ⁼    ) ⁼ /*(&»).

n=l    nsl    n=l

Funkcja zbioru Ji jest więcjniarą. Aby udowodnić, że Ji jest miarą zupełną, należy pokazać, że jeśli D C Z € OT i JX(Z) = 0, to D £ OT. Niech Z = AU B, gdzie A € OT, B C C £ OT i fi(C) = 0. Z założenia wynika, że A) = 0, więc /«(A U C) = 0.

!